삼각형 넓이 빈칸

[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 이용하여 추론하기

$y = nx$ $\displaystyle x = \frac{n}{2}$ $y = 2 x ^{2}$ $y = \left( n + 2 \right) x$

점 $\mathrm{A}$는 이차함수 $y = 2 x ^{2}$의 그래프와 직선 $y = nx$의 교점이다. $2 x ^{2} = nx$에서 $x \ne 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{n}{2}$ $\therefore$ 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{n}{2} , \frac{n ^{2}}{2} \right)$ 점 $\mathrm{B}$는 이차함수 $y = 2 x ^{2}$의 그래프와 직선 $y = \left( n + 2 \right) x$의 교점이다. $2 x ^{2} = \left( n + 2 \right) x$에서 $x \ne 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{n + 2}{2}$ $\therefore$ 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{n + 2}{2} , \frac{\left( n + 2 \right) ^{2}}{2} \right)$ 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 직선 $y = \left( n + 2 \right) x$와 만나는 점을 $\mathrm{A}'$이라 하자. 점 $\mathrm{A}'$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{n}{2} , \frac{n ^{2} + 2 n}{2} \right)$ 선분 $\mathrm{AA}'$의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AA'}} = {\square {\frac{\mathit{n} ^{2} + 2 n}{2}}} - \frac{\mathit{n ^{2}}}{2} = n$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S ( n )$은 삼각형 $\mathrm{OAA}'$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{ABA}'$의 넓이의 합이므로 $S \left( n \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times n \times \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \times n \times \left( \frac{n + 2}{2} - \frac{n}{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times n \times \left( {\square {\frac{n}{2} + 1}} \right)$ $\displaystyle = \frac{n \left( n + 2 \right)}{4}$$> 100$ 부등식 $n \left( n + 2 \right) > 400$의 양변에 $1$을 더하면 $\left( n + 1 \right) ^{2} > {401}$ $\displaystyle n + 1 > \sqrt{401}$ $\displaystyle 20 < \sqrt{401} < 21$이므로 $\displaystyle \sqrt{401} = 20 + \alpha$($0 < \alpha < 1$) $\therefore$ $\displaystyle n > \sqrt{401} - 1 = \left( 20 + \alpha \right) - 1 = 19 + \alpha$ 따라서 $S \left( n \right) > 100$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값은 ${\square {20 _{{} _{}} ^{{} ^{}}}}$이다. $\displaystyle f \left( n \right) = \frac{n ^{2} + 2 n}{2}$, $\displaystyle g \left( n \right) = \frac{n}{2} + 1$, $k = 20$이므로 $f \left( k \right) + g \left( k \right) = f \left( 20 \right) + g \left( 20 \right) = 220 + 11 = 231$