삼각형 넓이

[출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 도형의 넓이를 구하는 문제를 해결한다. 그림과 같이 점 ${\mathrm{B}}$에서 선분 ${\mathrm{CD}}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{F}}$라 하자.

두 삼각형 ${\mathrm{ADE}}$, ${\mathrm{BDF}}$에서 ${\mathrm{\angle} DEA = \angle DFB = 90 ^\circ}$이고 맞꼭지각의 크기는 같으므로 ${\mathrm{\angle} ADE = \angle BDF}$ 그러므로 삼각형 ${\mathrm{ADE}}$와 삼각형 ${\mathrm{BDF}}$는 서로 닮음이다. $\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}} : \overline{BD} = 1 : 2}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AE}} : \overline{BF} = 1 : 2}$이다. $\displaystyle {\mathrm{\overline{AE}} = 4}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{BF}} = 8}$ 삼각형 ${\mathrm{BEF}}$는 ${\mathrm{\angle} EFB = 90 ^\circ}$인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\mathrm{\overline{BF}} ^{2} + {\overline{EF}} ^{2}}$$\displaystyle {= \mathrm{\overline{BE}} ^{2}}$ $\displaystyle {\mathrm{\overline{EF}} ^{2}}$$\displaystyle {= \mathrm{\overline{BE}} ^{2} - {\overline{BF}} ^{2}}$${= 10 ^{2} - 8 ^{2}}$${= 36}$ 그러므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{EF}} = 6}$ $\displaystyle {\mathrm{\overline{ED}} : \overline{DF} = 1 : 2}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{ED}} = 2}$, $\displaystyle {\mathrm{\overline{DF}} = 4}$ 그러므로 ${\mathrm{\triangle} ADC}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{DC}} \times \overline{AE}}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \left( \mathrm{\overline{DE}} + \overline{EC} \right) \times \overline{AE}}$ $\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \left( 2 + 10 \right) \times 4}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 12 \times 4}$${= 24}$ ${\mathrm{\triangle} DBC}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{DC}} \times \overline{BF}}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \left( \mathrm{\overline{DE}} + \overline{EC} \right) \times \overline{BF}}$ $\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \left( 2 + 10 \right) \times 8}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 12 \times 8}$${= 48}$ ${\mathrm{\triangle} ABC}$${\mathrm{=} \triangle ADC + \triangle DBC}$${= 24 + 48}$${= 72}$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이는 ${72}$ [다른 풀이] 그림과 같이 선분 ${\mathrm{AE}}$의 연장선 위에 $\displaystyle {\mathrm{\overline{BF}} \parallel \overline{DC}}$가 되도록 하는 점을 ${\mathrm{F}}$라 하자.

$\displaystyle {\mathrm{\overline{BD}} = 2 \times \overline{AD}}$에서 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}} : \overline{BD} = 1 : 2}$이고 $\displaystyle {\mathrm{\overline{DE}} \parallel \overline{BF}}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AE}} : \overline{EF} = 1 : 2}$이다. $\displaystyle {\mathrm{\overline{AE}}} = 4$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{EF}}} = 8$ 삼각형 ${\mathrm{EBF}}$는 ${\mathrm{\angle} EFB = 90 ^\circ}$인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\mathrm{\overline{BF}} ^{2} + {\overline{EF}} ^{2}}$$\displaystyle {= \mathrm{\overline{BE}} ^{2}}$ $\displaystyle {\mathrm{\overline{BF}} ^{2}}$$\displaystyle {= \mathrm{\overline{BE}} ^{2} - {\overline{EF}} ^{2}}$${= 10 ^{2} - 8 ^{2}}$${= 36}$ 그러므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{BF}} = 6}$ 삼각형 ${\mathrm{ADE}}$와 삼각형 ${\mathrm{ABF}}$는 서로 닮음이고 닮음비가 ${1 : 3}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{DE}} : \overline{BF} = 1 : 3}$ $\displaystyle {\mathrm{\overline{BF}} = 6}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{DE}} = 2}$ 그러므로 ${\mathrm{\triangle} ADC}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{DC}} \times \overline{AE}}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \left( \mathrm{\overline{DE}} + \overline{EC} \right) \times \overline{AE}}$ $\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \left( 2 + 10 \right) \times 4}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 12 \times 4}$${= 24}$ 두 삼각형 ${\mathrm{ADC}}$와 ${\mathrm{DBC}}$의 넓이의 비는 선분 ${\mathrm{AD}}$와 선분 ${\mathrm{DB}}$의 길이의 비와 같고, $\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}} : \overline{DB} = 1 : 2}$이므로 ${\mathrm{\triangle} ADC : \triangle DBC = 1 : 2}$ ${\mathrm{\triangle} DBC = 2 \times \triangle ADC}$이므로 ${\mathrm{\triangle} DBC}$${= 24 \times 2}$${= 48}$ ${\mathrm{\triangle} ABC}$${\mathrm{=} \triangle ADC + \triangle DBC}$${= 24 + 48}$${= 72}$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이는 ${72}$