대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 내부 현의 길이 최솟값

문제

AB‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 5, BC‾=7\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 7, AC‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 6인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 두 선분 AB\mathrm{AB}, AC\mathrm{AC} 위에 삼각형 ADE\mathrm{ADE}의 외접원이 선분 BC\mathrm{BC}에 접하도록 점 D\mathrm{D}, E\mathrm{E}를 각각 잡을 때, 선분 DE\mathrm{DE}의 길이의 최솟값은? [5점] ①6415\displaystyle \frac{64}{15}②8120\displaystyle \frac{81}{20}③44④12130\displaystyle \frac{121}{30}⑤14435\displaystyle \frac{144}{35}

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⑤

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해설

선분 DEDE가 최소일 때는 그림과 같이 수선 AHAH가 원의 지름일 때이다. 코사인법칙에서 cos⁡A=25+36−492×5×6=15\displaystyle \cos A = \frac{25 + 36 - 49}{2 \times 5 \times 6} = \frac{1}{5}, sin⁡A=245\displaystyle \sin A = \frac{\sqrt{24}}{5} 삼각형의 넓이에서 12×5×6×sin⁡A=12×7×AH‾\displaystyle \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin A = \frac{1}{2} \times 7 \times {\overline{AH}}, AH‾=6247\displaystyle {\overline{AH}} = \frac{6 \sqrt{24}}{7} 사인법칙에서 DE‾=AH‾×sin⁡A=14435\displaystyle {\overline{DE}} = {\overline{AH}} \times \sin A = \frac{144}{35}

태그

#코사인법칙#사인법칙

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