대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 내부 격자점

문제

좌표평면에서 자연수 nn에 대하여 세 직선 y=x+1y = x + 1, y=−x+2n+1y = - x + 2 n + 1, y=xn+1\displaystyle y = \frac{x}{n + 1}로 둘러싸인 삼각형의 내부 (경계선 제외)에 있는 점 (x,y)( x , y )중에서 xx, yy가 모두 자연수인 점의 개수를 ana _{n}이라 하자. an=133a _{n} = 133인 nn의 값을 구하시오. [4점]

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1212

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해설

직선 y=x+1y = x + 1과 y=−x+2n+1y = - x + 2 n + 1의 교점의 xx좌표는 x+1=−x+2n+1x + 1 = - x + 2 n + 1에서 x=nx = n이다. 따라서 두 직선은 (n,n+1)( n , n + 1 )에서 만난다. 또한, 직선 y=−x+2n+1y = - x + 2 n + 1의 xx절편은 2n+12 n + 1이고 직선 y=xn+1\displaystyle y = \frac{x}{n + 1}는 두 점 (n+1,1)( n + 1 , 1 )과 (2n+2,2)( 2 n + 2 , 2 )를 지난다. (ⅰ) n=1n = 1, 22일 때,

위의 그림에서 a1=1a _{1} = 1, a2=3a _{2} = 3이다. (ⅱ) n≥3n \geq 3일 때,

직선 y=−x+2n+1y = - x + 2 n + 1과 y=−x+2n+1y = - x + 2 n + 1는 위의 그림과 같이 2n−1<x<2n2 n - 1 < x < 2 n인 범위에서 만난다. ∴ ana _{n}=(1+2+⋯+n)+{(n−2)+(n−3)+⋯+1}= ( 1 + 2 + \cdots + n ) + \left\{ ( n - 2 ) + ( n - 3 ) + \cdots + 1 \right\} =n(n+1)2+(n−2)(n−1)2\displaystyle = \frac{n ( n + 1 )}{2} + \frac{( n - 2 ) ( n - 1 )}{2} =n2−n+1= n ^{2} - n + 1 (ⅰ),(ⅱ)에서 an=n2−n+1a _{n} = n ^{2} - n + 1 (n≥1n \geq 1) an=n2−n+1a _{n} = n ^{2} - n + 1=133= 133에서 n(n−1)=132=12⋅11n ( n - 1 ) = 132 = 12 \cdot 11 ∴ n=12n = 12

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