기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 지나는 직선

문제

좌표공간에 세 점 $\mathrm{A} ( 4 , 2 , 1 )$ , $\mathrm{B} ( - 2 , 2 , 1 )$ , $\mathrm{C} ( 0 , 0 , 1 )$ 과 직선 $\displaystyle l : \frac{x + 2}{a} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 4}{3}$ 가 있다.

직선 $l$ 이 삼각형 $\mathrm{A} BC$ 의 변 또는 내부를 지나도록 상수 $a$ 의 값을 정할 때, 정수 $a$ 의 개수는? [4점] ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$

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②

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해설

삼각형 $\mathrm{A} BC$ 는 평면 $z = 1$ 위에 있으므로 직선의 방정식에 $z = 1$ 을 대입하면 삼각형 $\mathrm{A} BC$ 를 품는 평면과 직선 $l$ 의 교점의 좌표는 $( - a - 2 , 1 , 1 )$ 이다. 평면 $y = 1$ 과 선분 $\mathrm{C} A$ , $\mathrm{C} B$ 의 교점의 $x$ 좌표가 각각 $2 , - 1$ 이므로 $- 1 \leq - a - 2 \leq 2$ 에서 $- 4 \leq a \leq - 1$ 따라서 구하는 정수 $a$ 의 개수는 $4$ 이다.

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