삼각형 변 길이 순서쌍

[출제의도] 수열의 합을 추론한다. 자연수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a < b$이고 조건 (나)에서 $a + b > c$이므로 $c \geq 4$이다. (ⅰ) $c = 2 k$($k = 2$, $3$, $4$, $\cdots$, $10$)인 경우 $b = 2 k - 1$일 때 $2 \leq a \leq 2 k - 2$ $b = 2 k - 2$일 때 $3 \leq a \leq 2 k - 3$ ⁝ $b = k + 1$일 때 $a = k$ 이므로 순서쌍 $\left( a , b , c \right)$의 개수는 $\left( 2 k - 3 \right) + \left( 2 k - 5 \right) + \left( 2 k - 7 \right) + \cdots + 3 + 1$ $\displaystyle = \frac{\left( k - 1 \right) \left\{ \left( 2 k - 3 \right) + 1 \right\}}{2}$$= \left( k - 1 \right) ^{2}$ (ⅱ) $c = 2 k + 1$($k = 2$, $3$, $4$, $\cdots$, $9$)인 경우 $b = 2 k$일 때 $2 \leq a \leq 2 k - 1$ $b = 2 k - 1$일 때 $3 \leq a \leq 2 k - 2$ ⁝ $b = k + 2$일 때 $k \leq a \leq k + 1$ 이므로 순서쌍 $\left( a , b , c \right)$의 개수는 $\left( 2 k - 2 \right) + \left( 2 k - 4 \right) + \left( 2 k - 6 \right) + \cdots + 4 + 2$ $\displaystyle = \frac{\left( k - 1 \right) \left\{ \left( 2 k - 2 \right) + 2 \right\}}{2}$$= k \left( k - 1 \right)$ (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 순서쌍 $\left( a , b , c \right)$의 개수는 $\displaystyle \sum\limits _{k = 2} ^{10} \left( k - 1 \right) ^{2} + \sum\limits _{k = 2} ^{9} k \left( k - 1 \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{9} k ^{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{9} \left( k ^{2} - k \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{9} \left( 2 k ^{2} - k \right)$ $\displaystyle = 2 \times \frac{9 \times 10 \times 19}{6} - \frac{9 \times 10}{2}$$= 525$