대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각함수와 로그 대소 보기

문제

0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}인 θ\theta에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. 0<sin⁡θ<cos⁡θ<10 < \sin \theta < \cos \theta < 1 ㄴ. 0<log⁡sin⁡θcos⁡θ<10 < \log _{\sin \theta} \cos \theta < 1 ㄷ. (sin⁡θ)cos⁡θ<(cos⁡θ)cos⁡θ<(cos⁡θ)sin⁡θ\left( \sin \theta \right) ^{\cos \theta} < \left( \cos \theta \right) ^{\cos \theta} < \left( \cos \theta \right) ^{\sin \theta}

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 추론하기 ㄱ. 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}에서 y=sin⁡θy = \sin \theta, y=cos⁡θy = \cos \theta의 그래프는 그림과 같다.

y=sin⁡θy = \sin \theta y=cos⁡θy = \cos \theta π4\displaystyle \frac{\pi}{4} θ\theta

따라서 0<sin⁡θ<cos⁡θ<10 < \sin \theta < \cos \theta < 1이다. (참) ㄴ. 0<sin⁡θ<10 < \sin \theta < 1이므로 함수 f(x)=log⁡sin⁡θxf \left( x \right) = \log _{\sin \theta} x는 감소한다. sin⁡θ<cos⁡θ<1\sin \theta < \cos \theta < 1이므로 log⁡sin⁡θ1<log⁡sin⁡θcos⁡θ<log⁡sin⁡θsin⁡θ\log _{\sin \theta} 1 < \log _{\sin \theta} \cos \theta < \log _{\sin \theta} \sin \theta이다. 따라서 0<log⁡sin⁡θcos⁡θ<10 < \log _{\sin \theta} \cos \theta < 1이다. (참) ㄷ. 0<sin⁡θ<cos⁡θ0 < \sin \theta < \cos \theta이므로 (sin⁡θ)cos⁡θ<(cos⁡θ)cos⁡θ\left( \sin \theta \right) ^{\cos \theta} < \left( \cos \theta \right) ^{\cos \theta}이다. 0<cos⁡θ<10 < \cos \theta < 1이므로 함수 f(x)=(cos⁡θ)xf \left( x \right) = \left( \cos \theta \right) ^{x}은 감소한다. sin⁡θ<cos⁡θ\sin \theta < \cos \theta이므로 (cos⁡θ)cos⁡θ<(cos⁡θ)sin⁡θ\left( \cos \theta \right) ^{\cos \theta} < \left( \cos \theta \right) ^{\sin \theta}이다. 따라서 (sin⁡θ)cos⁡θ<(cos⁡θ)cos⁡θ<(cos⁡θ)sin⁡θ\left( \sin \theta \right) ^{\cos \theta} < \left( \cos \theta \right) ^{\cos \theta} < \left( \cos \theta \right) ^{\sin \theta}이다. (참) 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. [ㄷ의 다른 풀이] ㄷ. sin⁡θ<cos⁡θ\sin \theta < \cos \theta 이고 log⁡sin⁡θcos⁡θ>0\log _{\sin \theta} \cos \theta > 0이므로 sin⁡θ×log⁡sin⁡θcos⁡θ<cos⁡θ×log⁡sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \times \log _{\sin \theta} \cos \theta < \cos \theta \times \log _{\sin \theta} \cos \theta log⁡sin⁡θ(cos⁡θ)sin⁡θ<log⁡sin⁡θ(cos⁡θ)cos⁡θ\log _{\sin \theta} \left( \cos \theta \right) ^{\sin \theta} < \log _{\sin \theta} \left( \cos \theta \right) ^{\cos \theta} 이다. 0<sin⁡θ<10 < \sin \theta < 1이므로 (cos⁡θ)cos⁡θ<(cos⁡θ)sin⁡θ\left( \cos \theta \right) ^{\cos \theta} < \left( \cos \theta \right) ^{\sin \theta} 이다. log⁡sin⁡θcos⁡θ<1\log _{\sin \theta} \cos \theta < 1 이므로 log⁡sin⁡θcos⁡θ<log⁡sin⁡θsin⁡θ\log _{\sin \theta} \cos \theta < \log _{\sin \theta} \sin \theta cos⁡θ×log⁡sin⁡θcos⁡θ<cos⁡θ×log⁡sin⁡θsin⁡θ\cos \theta \times \log _{\sin \theta} \cos \theta < \cos \theta \times \log _{\sin \theta} \sin \theta log⁡sin⁡θ(cos⁡θ)cos⁡θ<log⁡sin⁡θ(sin⁡θ)cos⁡θ\log _{\sin \theta} \left( \cos \theta \right) ^{\cos \theta} < \log _{\sin \theta} \left( \sin \theta \right) ^{\cos \theta} 이다. 0<sin⁡θ<10 < \sin \theta < 1이므로 (sin⁡θ)cos⁡θ<(cos⁡θ)cos⁡θ\left( \sin \theta \right) ^{\cos \theta} < \left( \cos \theta \right) ^{\cos \theta} 이다. 따라서 (sin⁡θ)cos⁡θ<(cos⁡θ)cos⁡θ<(cos⁡θ)sin⁡θ\left( \sin \theta \right) ^{\cos \theta} < \left( \cos \theta \right) ^{\cos \theta} < \left( \cos \theta \right) ^{\sin \theta}이다. (참)

태그

#대소 비교#로그함수#보기 판단

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