미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각함수 연속 조건

문제

함수 f(x)={sin⁡x−ax−π2(x≠π2)b(x=π2)\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} \frac{\sin x - a}{x - \frac{\pi}{2}} \left( x \ne \frac{\pi}{2} \right) \\ b \left( x = \frac{\pi}{2} \right) \end{cases}가 x=π2\displaystyle x = \frac{\pi}{2}에서 연속일 때, 상수 a,ba , b의 합 a+ba + b의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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①

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해설

x=π2\displaystyle x = \frac{\pi}{2}에서 연속이므로 lim⁡x→π2sin⁡x−ax−π2=b\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {\frac{\sin x - a}{x - \frac{\pi}{2}}} = b lim⁡x→π2(sin⁡x−a)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {} ( \sin {x} - a ) = 0이므로 a=1a = 1 lim⁡x→π2sin⁡x−1x−π2=b\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {\frac{\sin x - 1}{x - \frac{\pi}{2}}} = b에서 x−π2=t\displaystyle x - \frac{\pi}{2} = t라 하면 lim⁡x→π2sin⁡x−1x−π2=lim⁡t→0cos⁡t−1t=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {\frac{\sin x - 1}{x - \frac{\pi}{2}}} = \lim\limits _{t \rightarrow 0} {\frac{\cos t - 1}{t} = 0} ∴b=0\therefore b = 0 따라서 a+b=1a + b = 1

태그

#삼각함수극한#연속

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