삼각함수 실근 개수

[출제의도] 사인함수의 최댓값, 최솟값 및 주기를 이해하고, 그래프를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값이 $- a + 8 - a = 8 - 2 a$ 이므로 조건 (가)를 만족시키려면 $8 - 2 a {\geq} 0$ 즉, $a {\leq} 4$이어야 한다. 그런데, $a = 1$ 또는 $a = 2$ 또는 $a = 3$일 때는 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값이 $0$보다 크므로 조건 (나)를 만족시킬 수 없다. 그러므로 $a = 4$ 이때 $f \left( x \right) = 4 \sin bx + 4$이고 이 함수의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{b}$이므로 $\displaystyle 0 {\leq} x {\leq} \frac{2 \pi}{b}$일 때 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 $1$이다. 그러므로 $0 {\leq} x < 2 \pi$일 때, 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되려면 $\displaystyle \frac{15 \pi}{2 b} < 2 \pi {\leq} \frac{19 \pi}{2 b}$ 이어야 한다. 즉, $\displaystyle \frac{15}{4} < b {\leq} \frac{19}{4}$이고 $b$는 자연수이므로 $b = 4$ 따라서 $a + b = 4 + 4 = 8$