삼각함수 실근 개수

닫힌구간 $\left[ 0 , 2 \pi \right]$에서 정의된 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \begin{cases} \sin x - 1 & & \left( 0 \leq x < \pi \right) \\ - \sqrt{2} \sin x - 1 & & \left( \pi \leq x \leq 2 \pi \right) \end{cases}$ 에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 $0 \leq x < \pi$에서 $y = \sin x$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동한 것이고 $\pi \leq x \leq 2 \pi$에서 $\displaystyle y = \sqrt{2} \sin x$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후 $y$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동한 것이므로 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

따라서 방정식 $f \left( x \right) = f \left( t \right)$의 서로 다른 실근은 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = f \left( t \right)$의 교점의 $x$좌표이다.

교점의 개수가 $3$인 경우는 $f \left( t \right) = 0$ 또는 $f \left( t \right) = - 1$ $f \left( t \right) = - 1$에서 $t = 0$ 또는 $t = \pi$ 또는 $t = 2 \pi$ $\pi \leq x \leq 2 \pi$에서 $\displaystyle - \sqrt{2} \sin x - 1 = 0$을 만족시키는 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 $f \left( t \right) = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$ 또는 $t = \alpha$ 또는 $t = \beta$ 이때 $\alpha + \beta = 3 \pi$이므로 모든 $t$의 값의 합은 $\displaystyle 0 + \frac{\pi}{2} + \pi + 2 \pi + 3 \pi = {\frac{13}{2}} \pi$ $\therefore$ $p + q = 2 + 13 = 15$