미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각함수 넓이 극한

문제

0<t<π0 < t < \pi인 실수 tt에 대하여 점 A(t,0)\mathrm{A} \mathit{\left( t , 0 \right)}을 지나고 yy축에 평행한 직선이 두 곡선 y=sin⁡x2\displaystyle y = \sin \frac{x}{2}, y=tan⁡x2\displaystyle y = \tan \frac{x}{2}와 만나는 점을 각각 B\mathrm{B}, C\mathrm{C}라 하고, 점 B\mathrm{B}를 지나고 xx축에 평행한 직선이 선분 OC\mathrm{OC}와 만나는 점을 D\mathrm{D}라 하자. 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이를 f(t)f \left( t \right), 삼각형 ACD\mathrm{ACD}의 넓이를 g(t)g \left( t \right)라 할 때, lim⁡t→0+g(t){f(t)}2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( t \right)}{\left\{ f \left( t \right) \right\} ^{2}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [3점]

①18\displaystyle \frac{1}{8}②14\displaystyle \frac{1}{4}③38\displaystyle \frac{3}{8}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤58\displaystyle \frac{5}{8}

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④

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해설

세 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}의 좌표는 각각 A(t,0)\mathrm{A} \left( \mathit{t} , 0 \right), B(t,sin⁡t2)\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( t , \sin \frac{t}{2} \right)}, C(t,tan⁡t2)\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( t , \tan \frac{t}{2} \right)}이고 직선 OC\mathrm{OC}의 방정식은 y=(1ttan⁡t2)x\displaystyle y = \left( \frac{1}{t} \tan \frac{t}{2} \right) x이므로 점 D\mathrm{D}의 좌표는 D(tcos⁡t2,sin⁡t2)\displaystyle \mathrm{D} \mathit{\left( t \cos \frac{t}{2} , \sin \frac{t}{2} \right)}이다. △OAB\mathrm{\triangle} OAB=12×OA‾×AB‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{OA}} \times \overline{AB}=12×t×sin⁡t2\displaystyle = \frac{1}{2} \times t \times \sin \frac{t}{2} ∴\therefore f(t)=t2sin⁡t2\displaystyle f \left( t \right) = \frac{t}{2} \sin \frac{t}{2} △ACD\mathrm{\triangle} ACD=12×AC‾×BD‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AC}} \times \overline{BD}=12×tan⁡t2×(t−tcos⁡t2)\displaystyle = \frac{1}{2} \times \tan \frac{t}{2} \times \left( t - t \cos \frac{t}{2} \right) =t2(1−cos⁡t2)tan⁡t2\displaystyle = \frac{t}{2} \left( 1 - \cos \frac{t}{2} \right) \tan \frac{t}{2} ∴\therefore g(t)g \left( t \right)=t2(1−cos⁡t2)tan⁡t2\displaystyle = \frac{t}{2} \left( 1 - \cos \frac{t}{2} \right) \tan \frac{t}{2} 한편 g(t){f(t)}2\displaystyle \frac{g \left( t \right)}{\left\{ f \left( t \right) \right\} ^{2}}=t2(1−cos⁡t2)tan⁡t2×4t2sin⁡2t2\displaystyle = \frac{t}{2} \left( 1 - \cos \frac{t}{2} \right) \tan \frac{t}{2} \times \frac{4}{t ^{2} \sin ^{2} \frac{t}{2}} =2t×sin⁡2t2×tan⁡t2×11+cos⁡t2×1sin⁡2t2\displaystyle = \frac{2}{t} \times \sin ^{2} \frac{t}{2} \times \tan \frac{t}{2} \times \frac{1}{1 + \cos \frac{t}{2}} \times \frac{1}{\sin ^{2} \frac{t}{2}} =2tan⁡t2t(1+cos⁡t2)\displaystyle = \frac{2 \tan \frac{t}{2}}{t \left( 1 + \cos \frac{t}{2} \right)} 이므로 lim⁡t→0+g(t){f(t)}2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( t \right)}{\left\{ f \left( t \right) \right\} ^{2}}=lim⁡t→0+2tan⁡t2t(1+cos⁡t2)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{2 \tan \frac{t}{2}}{t \left( 1 + \cos \frac{t}{2} \right)}=2×121+1\displaystyle = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 + 1}=12\displaystyle = \frac{1}{2}

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#삼각함수 극한#도형

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