미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각함수 무한등비급수

문제

무한등비급수 cos⁡2θ+cos⁡2θsin⁡θ+cos⁡2θsin⁡2θ+⋯\cos ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta \sin \theta + \cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta + \cdots 의 합이 1813\displaystyle \frac{18}{13}일 때, 10tan⁡θ\displaystyle \frac{10}{\tan \theta}의 값을 구하시오.(단,0<θ<π2)\displaystyle \left( \text{단} , 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right) [4점]

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24

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해설

무한등비급수의 공비가 sin⁡θ\sin \theta 이고 0<sin⁡θ<10 < \sin \theta < 1 이므로 무한등비급수는 수렴한다. cos⁡2θ1−sin⁡θ=1813\displaystyle \frac{\cos ^{2} \theta}{1 - \sin \theta} = \frac{18}{13}, 1−sin⁡2θ1−sin⁡θ=1813\displaystyle \frac{1 - \sin ^{2} \theta}{1 - \sin \theta} = \frac{18}{13}, 1+sin⁡θ=1813\displaystyle 1 + \sin \theta = \frac{18}{13}, sin⁡θ=513\displaystyle \sin \theta = \frac{5}{13} ∴ tan⁡θ=512\displaystyle \tan \theta = \frac{5}{12} 그러므로 10tan⁡θ=10×125=24\displaystyle \frac{10}{\tan \theta} = 10 \times \frac{12}{5} = 24

태그

#무한등비급수#삼각함수

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