삼각함수 미분가능

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-삼각함수 함수 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} ( ax + 3 ) \cos x & ( x < 0 ) \\ x ^{2} + 2 x + b & ( x \geq 0 ) \end{cases}}$ 이 $x = 0$에서 미분가능하면 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f ( x ) = f ( 0 )$ 이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} ( ax + 3 ) \cos x = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} ( x ^{2} + 2 x + b ) = b$ $f ( 0 ) = b$ 따라서 $b = 3$ 한편, $x = 0$에사의 미분계수가 존재하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{( ax + 3 ) \cos x - 3}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{ax \cos x + 3 \cos x - 3}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left\{ a \cos x - \frac{3 ( 1 - \cos x )}{x} \times \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left\{ a \cos x - \frac{3 \sin x}{x} \times \frac{\sin x}{1 + \cos x} \right\}$ $= a - 3 \times 0 = a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{x ^{2} + 2 x + 3 - 3}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} ( x + 2 ) = 2$ 따라서 $a = 2$이므로 $a + b = 2 + 3 = 5$