삼각함수 이차식의 최댓값 최솟값과 ab

$\sin x = t$라 하면 $- 1 \leq t \leq 1$이고 $y$$= a \cos ^{2} x + a \sin x + b$ $= a ( 1 - \sin ^{2} x ) + a \sin x + b$ $= a ( 1 - t ^{2} ) + at + b$ $\displaystyle = - a \left( t - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{5}{4} a + b$ ⅰ) $a > 0$인 경우 주어진 함수는 $\displaystyle t = \frac{1}{2}$일 때, 최댓값 $\displaystyle \frac{5}{4} a + b$를 갖고 $t = - 1$일 때, 최솟값 $- a + b$를 갖는다. ∴ $\displaystyle \frac{5}{4} a + b = 10$, $- a + b = 1$ ∴ $a = 4$, $b = 5$ ⅱ) $a < 0$인 경우 $\displaystyle t = \frac{1}{2}$일 때, 최솟값 $\displaystyle \frac{5}{4} a + b$를 갖고 $t = - 1$일 때, 최댓값 $- a + b$를 갖는다. ∴ $\displaystyle \frac{5}{4} a + b = 1$, $- a + b = 10$ ∴ $a = - 4$, $b = 6$ ⅰ), ⅱ)에서 $ab$의 값은 $20$ 또는 $- 24$이다. ∴ $p + q = - 4$