삼각함수 교점 수열

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 활용하여 추론하기 $y$$\displaystyle = 2 \sin \left( n \pi x + \frac{\pi}{2} \right) + \left| k \sin ^{2} \left( n \pi x \right) - \left( k - 1 \right) \right|$ $= 2 \cos \left( n \pi x \right) + \left| k \left\{ 1 - \cos ^{2} \left( n \pi x \right) \right\} - \left( k - 1 \right) \right|$ $= 2 \cos \left( n \pi x \right) + \left| 1 - k \cos ^{2} \left( n \pi x \right) \right|$ $0 \leq x \leq 2$에서 $t = \cos \left( n \pi x \right)$라 할 때, 함수 $f \left( t \right) = 2 t + \left| 1 - kt ^{2} \right|$$\left( - 1 \leq t \leq 1 \right)$이라 하자. $1 - kt ^{2} = 0$, $\displaystyle t = \mathit{-} \frac{1}{\sqrt{k}}$ 또는 $\displaystyle t = \frac{1}{\sqrt{k}}$ $\displaystyle f ( t ) = {\begin{cases} - kt ^{2} + 2 t + 1 & \left( - \frac{1}{\sqrt{k}} \leq t \leq \frac{1}{\sqrt{k}} \right) \\ kt ^{2} + 2 t - 1 & \left( - 1 \leq t < - \frac{1}{\sqrt{k}} \text{또는} \frac{1}{\sqrt{k}} < t \leq 1 \right) \end{cases}}$ $\displaystyle = {\begin{cases} - k \left( t - \frac{1}{k} \right) ^{2} + \left( 1 + \frac{1}{k} \right) & \left( - \frac{1}{\sqrt{k}} \leq t \leq \frac{1}{\sqrt{k}} \right) \\ k \left( t + \frac{1}{k} \right) ^{2} - \left( 1 + \frac{1}{k} \right) & \left( - 1 \leq t < - \frac{1}{\sqrt{k}} \text{또는} \frac{1}{\sqrt{k}} < t \leq 1 \right) \end{cases}}$ $f \left( - 1 \right) \mathit{=} k - 3$, $\displaystyle f \left( - \frac{1}{\sqrt{k}} \right) \mathit{=} \mathit{-} \frac{2}{\sqrt{k}}$, $\displaystyle f \left( \frac{1}{\sqrt{k}} \right) \mathit{=} \frac{2}{\sqrt{k}}$, $f \left( 1 \right) \mathit{=} k + 1$ $k \leq 4$이므로 $\displaystyle 1 \leq \frac{2}{\sqrt{k}}$ 함수 $y = f \left( t \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$y = f ( t )$ $\displaystyle - \frac{1}{\sqrt{k}}$ $\displaystyle 1 + \frac{1}{k}$ $\displaystyle \frac{1}{k}$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}$ $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{k}}$ $\displaystyle - \frac{2}{\sqrt{k}}$

조건 (가)에 의하여 $a _{2}$는 $\displaystyle f \left( t _{0} \right) \mathit{=} \mathit{-} \frac{k}{4}$인 실수 $t _{0}$$\left( - 1 \leq t _{0} \leq 1 \right)$에 대하여 곡선 $t = \cos 2 \pi x$와 직선 $t = t _{0}$이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다. $\displaystyle \frac{12}{5} < k \leq 4$에서 $\displaystyle - \frac{2}{\sqrt{k}} \leq \mathit{-} \frac{k}{4} < k - 3$ (Ⅰ) $\displaystyle - \frac{2}{\sqrt{k}} < \mathit{-} \frac{k}{4}$인 경우 $\displaystyle f \left( t \right) \mathit{=} \mathit{-} \frac{k}{4}$인 실수 $t$를 $t _{1}$, $t _{2}$$\left( - 1 < t _{1} < t _{2} < 0 \right)$이라 하면

$t = t _{3}$ $t = \cos 2 \pi x$

$0 \leq x \leq 2$에서 주기가 $1$인 곡선 $t = \cos 2 \pi x$와 두 직선 $t = t _{1}$, $t = t _{2}$가 만나는 서로 다른 점의 개수 $a _{2} = \left( 2 + 2 \right) \times 2 = 8$ $0 < a _{2} < 6$을 만족시키지 않는다. (Ⅱ) $\displaystyle - \frac{2}{\sqrt{k}} \mathit{=} \mathit{-} \frac{k}{4}$인 경우 $\displaystyle f \left( t \right) \mathit{=} \mathit{-} \frac{k}{4}$인 실수 $t$를 $\displaystyle t _{3} = \mathit{-} \frac{1}{\sqrt{k}}$$\left( - 1 < t _{3} < 0 \right)$이라 하면

$t = t _{3}$ $t = \cos 2 \pi x$

$0 \leq x \leq 2$에서 주기가 $1$인 곡선 $t = \cos 2 \pi x$와 직선 $t = t _{3}$이 만나는 서로 다른 점의 개수 $a _{2} = 2 \times 2 = 4$$\cdots$㉠ (Ⅰ), (Ⅱ)에 의하여 $0 < a _{2} < 6$을 만족시키는 $k$의 값은 $\displaystyle - \frac{2}{\sqrt{k}} = \mathit{-} \frac{k}{4}$, $k = 4$ 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $0 \leq x \leq 2$에서 $t = \cos \left( n \pi x \right)$$\left( - 1 \leq t \leq 1 \right)$일 때,

함수 $y = f \left( t \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$y = f ( t )$ $\displaystyle - \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{5}{4}$ $\displaystyle \frac{1}{4}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

(ⅰ) $n = 1$인 경우 조건 (나)에 의하여 $f \left( t \right) \mathit{=} 5$인 실수 $t$는 $1$

$t = \cos \pi x$

$0 \leq x \leq 2$에서 주기가 $2$인 곡선 $t = \cos \pi x$와 직선 $t = 1$이 만나는 서로 다른 점의 개수 $a _{1} = 2$ (ⅱ) $n = 2$인 경우 ㉠에 의하여 $a _{2} = 4$ (ⅲ) $n = 3$인 경우 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle f \left( t \right) = \frac{5}{3}$인 실수 $t$를 $t _{4}$$\left( 0 < t _{4} < 1 \right)$이라 하면

$t = t _{4}$ $t = \cos 3 \pi x$

$0 \leq x \leq 2$에서 주기가 $\displaystyle \frac{2}{3}$인 곡선 $t = \cos 3 \pi x$와 직선 $t = t _{4}$가 만나는 서로 다른 점의 개수 $a _{3} = 2 \times 3 = 6$ (ⅳ) $n = 4$인 경우 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle f \left( t \right) \mathit{=} \mathit{-} \frac{1}{2}$인 실수 $t$를 $t _{5}$, $t _{6}$ $\left( - 1 < t _{5} < t _{6} < 0 \right)$이라 하면

$t = t _{6}$ $t = \cos 4 \pi x$ $t = t _{5}$

$0 \leq x \leq 2$에서 주기가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 곡선 $t = \cos 4 \pi x$와 두 직선 $t = t _{5}$, $t = t _{6}$이 만나는 서로 다른 점의 개수 $a _{4} = \left( 2 \times 4 \right) \times 2 = 16$ (ⅴ) $n = 5$인 경우 조건 (나)에 의하여 $f \left( t \right) = 1$인 실수 $t$는 $- 1$, $0$, $\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle t = \frac{1}{2}$ $t = \cos 5 \pi x$ $t = \mathit{-} 1$

$0 \leq x \leq 2$에서 주기가 $\displaystyle \frac{2}{5}$인 곡선 $t = \cos 5 \pi x$와 세 직선 $t = \mathit{-} 1$, $t = 0$, $\displaystyle t = \frac{1}{2}$이 만나는 서로 다른 점의 개수 $a _{5} = 5 + \left( 2 \times 5 \right) \times 2 = 25$ (ⅰ) ~ (ⅴ)에 의하여 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} a _{n} = 2 + 4 + 6 + 16 + 25 = 53$