삼각함수 교점 집합 조건

두 곡선 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$가 만나는 점의 $x$좌표를 $\alpha$라 하면 $\sin k \alpha + 2 = 3 \cos 12 \alpha$ 함수 $f ( x )$의 주기가 $\displaystyle \frac{2 \pi}{k}$이므로 $\displaystyle x = \frac{\pi}{k} - \alpha$도 방정식 $\sin k x + 2 = \sin k \alpha + 2$의 실근이다. 이때 조건을 만족시키려면 $\displaystyle x = \frac{\pi}{k} - \alpha$가 방정식 $3 \cos 12 x = 3 \cos 12 \alpha$의 실근이어야 한다. $\displaystyle 3 \cos 12 \left( \frac{\pi}{k} - \alpha \right) = 3 \cos \left( \frac{12 \pi}{k} - 12 \alpha \right)$에서 $\displaystyle 3 \cos \left( \frac{12 \pi}{k} - 12 \alpha \right) = 3 \cos 12 \alpha$가 성립하려면 $\displaystyle \frac{12 \pi}{k} = 2 \pi , 4 \pi , 6 \pi , 8 \pi , 10 \pi , 12 \pi , \cdots$ 이어야 한다. 이때 $k$가 자연수이므로 $k = 6 , 3 , 2 , 1$ 따라서 그 개수는 $4$이다. [다른 풀이] 두 곡선 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$가 만나는 점의 $x$좌표를 $\alpha$라 하면 $\sin k \alpha + 2 = 3 \cos 12 \alpha$ 함수 $f ( x )$의 주기가 $\displaystyle \frac{2 \pi}{k}$이므로 방정식 $\sin k x + 2 = \sin k \alpha + 2$의 실근은 $\displaystyle \frac{\pi}{k} - \alpha$, $\displaystyle \frac{2 \pi}{k} + \alpha$, $\displaystyle \frac{3 \pi}{k} - \alpha$, $\displaystyle \frac{4 \pi}{k} + \alpha$, ⋯ 이고 조건을 만족시키려면 방정식 $3 \cos 12 x = 3 \cos 12 \alpha$의 실근이어야 한다. 즉, $\displaystyle 3 \cos \left( \frac{12 \pi}{k} - 12 \alpha \right) = 3 \cos 12 \alpha$ $\displaystyle 3 \cos \left( \frac{24 \pi}{k} + 12 \alpha \right) = 3 \cos 12 \alpha$ $\displaystyle 3 \cos \left( \frac{36 \pi}{k} - 12 \alpha \right) = 3 \cos 12 \alpha$ $\displaystyle 3 \cos \left( \frac{48 \pi}{k} + 12 \alpha \right) = 3 \cos 12 \alpha$ ⋯ $k$는 자연수이고 $\displaystyle \frac{12}{k}$는 짝수이어야 하므로 $k$는 $6$의 약수이다.