삼각함수 곱의 극값

ㄱ. $f ( x ) = 2 x \cos x$에서 $f' ( x ) = 2 \cos x - 2 x \sin x$ $f' ( a ) = 2 \cos a - 2 a \sin a = 0$ $\displaystyle \therefore \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\sin a}{a \sin a} = \frac{1}{a}$ (참) ㄴ. $f' ( x ) = 2 \cos x ( 1 - x \tan x ) = 0$에서 $\cos x = 0$ 또는 $\displaystyle \tan x = \frac{1}{x}$ $\displaystyle \tan x = \frac{1}{x}$의 근을 $a$라 하면 $\displaystyle 0 < a < \frac{\pi}{2}$ 증감표를 그려보면

$\therefore f ( x )$는 $x = a$에서 극댓값을 가진다. 구간 $\displaystyle \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right)$에서 $\displaystyle y = \frac{1}{x}$은 감소함수, $y = \tan x$는 증가함수이므로 $\displaystyle g ( x ) = \tan x - \frac{1}{x}$은 증가함수 $\displaystyle g \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 - \frac{4}{\pi} < 0$, $\displaystyle g \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} - \frac{3}{\pi} > 0$이므로 중간값 정리에 의해 $\displaystyle \frac{\pi}{4} < a < \frac{\pi}{3}$ (참) ㄷ. $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{1}{2} > 1$이므로 $f ( a ) > 1$ $\therefore$ 구간 $\displaystyle \left[ 0 , \frac{\pi}{2} \right]$에서 $f ( x ) = 1$은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.