미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각함수 극한과 도형

문제

그림과 같이 중심이 O{\mathrm{O}}이고 길이가 2\mathrm{2}인 선분 AB{\mathrm{AB}}를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위에 점 P{\mathrm{P}}를 ∠PAB=θ\angle {\mathrm{PAB}} \mathit{=} \theta가 되도록 잡고, 점 P{\mathrm{P}}를 포함하지 않는 호 AB{\mathrm{AB}} 위에 점 Q{\mathrm{Q}}를 ∠QAB=2θ\angle {\mathrm{QAB}} \mathit{=} 2 \theta가 되도록 잡는다. 직선 OQ{\mathrm{OQ}}가 원과 만나는 점 중 Q{\mathrm{Q}}가 아닌 점을 R{\mathrm{R}}, 두 선분 PA{\mathrm{PA}}와 QR{\mathrm{QR}}가 만나는 점을 S{\mathrm{S}}라 하자. 삼각형 BOQ{\mathrm{BOQ}}의 넓이를 f(θ)f ( \theta ), 삼각형 PRS{\mathrm{PRS}}의 넓이를 g(θ)g ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→0+g(θ)f(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{g ( \theta )}{f ( \theta )}의 값은? (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, 0<θ<π6\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{6})\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} ) [4점]

①1110\displaystyle \frac{11}{10}②65\displaystyle \frac{6}{5}③1310\displaystyle \frac{13}{10}④75\displaystyle \frac{7}{5}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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②

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해설

OA‾=OQ‾=1\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}}} = \overline{{\mathrm{OQ}}} = 1이므로 ∠OQA=2θ\angle {\mathrm{OQA}} \mathit{=} 2 \theta, ∠BOQ=4θ\angle {\mathrm{BOQ}} \mathit{=} 4 \theta 삼각형 BOQ{\mathrm{BOQ}}의 넓이는 f(θ)f ( \theta )=12×OB‾×OQ‾×sin⁡(∠BOQ)\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{OB}}} \times \overline{{\mathrm{OQ}}} \times \sin ( \angle {\mathrm{BOQ}} \mathit{)} =12×1×1×sin⁡4θ=12sin⁡4θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin 4 \theta = \frac{1}{2} \sin 4 \theta 선분 RQ{\mathrm{RQ}}는 원의 지름이므로 ∠RPQ=π2\displaystyle \angle {\mathrm{RPQ}} \mathit{=} \frac{\pi}{2} 원주각의 성질에 의하여 ∠PRQ=∠PAQ=3θ\angle \mathrm{PRQ} \mathit{=} \angle \mathrm{PAQ} \mathit{=} 3 \theta RP‾=RQ‾cos⁡3θ=2cos⁡3θ\displaystyle {\overline{\mathrm{RP}}} = {\overline{\mathrm{RQ}}} \cos 3 \theta = 2 \cos 3 \theta 원주각의 성질에 의하여 ∠RPA=∠RQA=2θ\angle \mathrm{RPA} \mathit{=} \angle \mathrm{RQA} \mathit{=} 2 \theta 삼각형 PRS{\mathrm{PRS}}에서 ∠PSR=π−5θ\angle \mathrm{PSR} \mathit{=} \pi - 5 \theta 사인법칙에 의하여 RS‾sin⁡2θ=2cos⁡3θsin⁡(π−5θ)\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{RS}}}}{\sin 2 \theta} = \frac{2 \cos 3 \theta}{\sin \left( \pi - 5 \theta \right)}이므로 RS‾=2cos⁡3θsin⁡2θsin⁡(π−5θ)=2cos⁡3θsin⁡2θsin⁡5θ\displaystyle {\overline{\mathrm{RS}}} = \frac{2 \cos 3 \theta \sin 2 \theta}{\sin \left( \pi - 5 \theta \right)} = \frac{2 \cos 3 \theta \sin 2 \theta}{\sin 5 \theta} 삼각형 PRS\mathrm{PRS}의 넓이는 g(θ)g ( \theta )=12×RP‾×RS‾×sin⁡(∠PRS)\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{RP}}} \times {\overline{\mathrm{RS}}} \times \sin \left( \angle \mathrm{PRS} \right) =12×2cos⁡3θ×2cos⁡3θsin⁡2θsin⁡5θ×sin⁡3θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \cos 3 \theta \times \frac{2 \cos 3 \theta \sin 2 \theta}{\sin 5 \theta} \times \sin 3 \theta =2cos⁡2(3θ)×sin⁡2θ×sin⁡3θsin⁡5θ\displaystyle = \frac{2 \cos ^{2} \left( 3 \theta \right) \times \sin 2 \theta \times \sin 3 \theta}{\sin 5 \theta} 따라서 lim⁡θ→0+g(θ)f(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( \theta \right)}{f \left( \theta \right)}=lim⁡θ→0+2cos⁡2(3θ)×sin⁡2θ×sin⁡3θsin⁡5θ12sin⁡4θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{\frac{2 \cos ^{2} \left( 3 \theta \right) \times \sin 2 \theta \times \sin 3 \theta}{\sin 5 \theta}}{\frac{1}{2} \sin 4 \theta} =lim⁡θ→0+4cos⁡2(3θ)×sin⁡2θ×sin⁡3θsin⁡4θ×sin⁡5θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{4 \cos ^{2} ( 3 \theta ) \times \sin 2 \theta \times \sin 3 \theta}{\sin 4 \theta \times \sin 5 \theta} =lim⁡θ→0+24×cos⁡2(3θ)×sin⁡2θ2θ×sin⁡3θ3θ20×sin⁡4θ4θ×sin⁡5θ5θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{24 \times \cos ^{2} ( 3 \theta ) \times \frac{\sin 2 \theta}{2 \theta} \times \frac{\sin 3 \theta}{3 \theta}}{20 \times \frac{\sin 4 \theta}{4 \theta} \times \frac{\sin 5 \theta}{5 \theta}} =65\displaystyle = \frac{6}{5}

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