미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각함수 극한과 도형

문제

그림과 같이　좌표평면 위에 점 A(0,1)\mathrm{A} ( 0 , 1 )을 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원 CC가 있다. 원점 O\mathrm{O}를 지나고 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 θ\theta인 직선이 원 CC와 만나는 점 중 O\mathrm{O}가 아닌 점을 P\mathrm{P}라 하고, 호 OP\mathrm{OP} 위에 점 Q\mathrm{Q}를 ∠OPQ=θ3\displaystyle \angle \mathrm{OPQ} = \frac{\theta}{3}가 되도록 잡는다. 삼각형 POQ\mathrm{POQ}의 넓이를 f(θ)f ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→0+f(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{f ( \theta )}{\theta ^{3}}}의 값은? (단, 점 Q\mathrm{Q}는 제11사분면 위의 점이고, 0<θ<π0 < \theta < \pi이다.) [3점]

①29\displaystyle \frac{2}{9}②13\displaystyle \frac{1}{3}③49\displaystyle \frac{4}{9}④59\displaystyle \frac{5}{9}⑤23\displaystyle \frac{2}{3}

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③

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해설

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 원 CC와 yy축과의 교점 중 O\mathrm{O}가 아닌 점을 R\mathrm{R}라 하면 ∠ORP=π2−∠POR=θ\displaystyle \mathrm{\angle} ORP = \frac{\pi}{2} - \angle \mathrm{POR} = \mathit{\theta} 직각삼각형 OPR\mathrm{OPR}에서 OP‾=2sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 2 \sin \theta ∠ORQ\mathrm{\angle} ORQ, ∠OPQ\mathrm{\angle} OPQ는 호 OQ\mathrm{OQ}에 대한 원주각이므로 ∠ORQ=∠OPQ=θ3\displaystyle \mathrm{\angle} ORQ = \angle OPQ = \frac{\theta}{3} 직각삼각형 OQR\mathrm{OQR}에서 OQ‾=2sin⁡θ3\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = 2 \sin \frac{\theta}{3} ∠QOP\mathrm{\angle} QOP, ∠QRP\mathrm{\angle} QRP는 호 PQ\mathrm{PQ}에 대한 원주각이므로 ∠QOP=∠QRP=θ−θ3=23θ\displaystyle \mathrm{\angle} QOP = \angle QRP = \theta - \frac{\theta}{3} = \frac{2}{3} \theta f(θ)f \left( \theta \right)=12×OP‾×OQ‾×sin⁡(∠QOP)\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times {\overline{OP}} \times {\overline{OQ}} \times \sin \left( \angle QOP \right) =12×2sin⁡θ×2sin⁡θ3×sin⁡23θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sin \theta \times 2 \sin \frac{\theta}{3} \times \sin \frac{2}{3} \theta =2sin⁡θsin⁡θ3sin⁡23θ\displaystyle = 2 \sin \theta \sin \frac{\theta}{3} \sin \frac{2}{3} \theta lim⁡θ→0+f(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{f ( \theta )}{\theta ^{3}}}=lim⁡θ→0+2sin⁡θsin⁡θ3sin⁡23θθ3\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{2 \sin \theta \sin \frac{\theta}{3} \sin \frac{2}{3} \theta}{\theta ^{3}}} =2×13×23×lim⁡θ→0+(sin⁡θθ×sin⁡θ3θ3×sin⁡23θ23θ)\displaystyle = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left( \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{\sin \frac{\theta}{3}}{\frac{\theta}{3}} \times \frac{\sin \frac{2}{3} \theta}{\frac{2}{3} \theta} \right)} =2×13×23×1=49\displaystyle = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times 1 = \frac{4}{9}

태그

#삼각함수의 극한#도형

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