삼각함수 극한 도형

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{BED}$와 삼각형 $\mathrm{DEH}$는 닮음이므로 $\mathrm{\angle} EBD = \angle EDH = \theta$ 선분 $\mathrm{AC}$와 선분 $\mathrm{DH}$는 서로 평행하므로 $\mathrm{\angle} ACD = \angle CDH = 2 \theta$ $\displaystyle \angle \mathrm{DAC} = \angle CDA = \frac{\pi}{2} - \theta$이므로 삼각형 $\mathrm{CAD}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} = {\overline{CD}}$인 이등변삼각형이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 4$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} = {\overline{CD}} = 4 \sin \theta$

$\theta$ $\theta$ $\theta$ $2 \theta$

삼각형 $\mathrm{DHC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} = {\overline{CD}} \cos 2 \theta = 4 \sin \theta \cos 2 \theta$ 삼각형 $\mathrm{DHE}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = \frac{\mathrm{\overline{DH}}}{\cos \theta} = 4 \tan \theta \cos 2 \theta$ 점 $\mathrm{E}$에서 선분 $\mathrm{CD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{F}$라 할 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} = {\overline{DE}} \sin \theta$ 삼각형 $\mathrm{CDE}$의 넓이 $S ( \theta )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{CD}} \times {\overline{EF}}$$= 8 \sin ^{2} \theta \tan \theta \cos 2 \theta$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{8 \sin ^{2} \theta \tan \theta \cos 2 \theta}{\theta ^{3}}}$ $\displaystyle = 8 \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \left\{ \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) ^{2} \times \left( \frac{\tan \theta}{\theta} \right) \times \cos 2 \theta \right\}$ $= 8$