삼각함수 값이 들어간 방정식

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 추론하기 함수 $\displaystyle y = \cos \frac{\pi x}{4}$의 주기가 $8$이고 함수 $\displaystyle y = \tan \frac{\left( 2 x + 1 \right) \pi}{4}$의 주기가 $2$이므로 다음과 같이 $8$가지 경우로 나눌 수 있다. (ⅰ) $n = 8 k$($k$는 음이 아닌 정수)일 때 $\displaystyle \cos \frac{n}{4} \pi = \cos 2 k \pi = 1$이고 $\displaystyle \tan \frac{2 n + 1}{4} \pi = \tan \left( 4 k + \frac{1}{4} \right) \pi = 1$이다. $\left( a ^{2} + b ^{2} + 2 ab - 4 \right) + \left( b ^{2} + ab + 2 \right) = 0$이므로 $a ^{2} + 2 b ^{2} + 3 ab - 2 = 0$이다. 따라서 $\left( a + b \right) \left( a + 2 b \right) = 2$이고 $a + b \leq a + 2 b$이므로 $a + b = 1 ,$$a + 2 b = 2$이다. 그러므로 $a = 0$, $b = 1$인데 이것은 $a \geq b$라는 조건에 맞지 않다. (ⅱ) $n = 8 k + 1$($k$는 음이 아닌 정수)일 때 $\displaystyle \cos \frac{n}{4} \pi = \cos \left( 2 k + \frac{1}{4} \right) \pi = \frac{\sqrt{2}}{2}$이고 $\displaystyle \tan \frac{2 n + 1}{4} \pi = \tan \left( 4 k + \frac{3}{4} \right) \pi = \mathit{-} 1$이므로 $a ^{2} + b ^{2} + 2 ab - 4 = 0$, $b ^{2} + ab + 2 = 0$이다. $b ^{2} + ab + 2 = 0$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$는 존재하지 않는다. (ⅲ) $n = 8 k + 2$($k$는 음이 아닌 정수)일 때 $\displaystyle \cos \frac{n}{4} \pi = \cos \left( 2 k + \frac{1}{2} \right) \pi = 0$이고 $\displaystyle \tan \frac{2 n + 1}{4} \pi = \tan \left( 4 k + \frac{5}{4} \right) \pi = 1$이므로 $b ^{2} + ab + 2 = 0$이다. $b ^{2} + ab + 2 = 0$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$는 존재하지 않는다. (ⅳ) $n = 8 k + 3$($k$는 음이 아닌 정수)일 때 $\displaystyle \cos \frac{n}{4} \pi = \cos \left( 2 k + \frac{3}{4} \right) \pi = \mathit{-} \frac{\sqrt{2}}{2}$이고 $\displaystyle \tan \frac{2 n + 1}{4} \pi = \tan \left( 4 k + \frac{7}{4} \right) \pi = \mathit{-} 1$이므로 $a ^{2} + b ^{2} + 2 ab - 4 = 0$, $b ^{2} + ab + 2 = 0$이다. $b ^{2} + ab + 2 = 0$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$는 존재하지 않는다. (ⅴ) $n = 8 k + 4$($k$는 음이 아닌 정수)일 때 $\displaystyle \cos \frac{n}{4} \pi = \cos \left( 2 k + 1 \right) \pi = \mathit{-} 1$이고 $\displaystyle \tan \frac{2 n + 1}{4} \pi = \tan \left( 4 k + \frac{9}{4} \right) \pi = 1$이다. $- \left( a ^{2} + b ^{2} + 2 ab - 4 \right) + \left( b ^{2} + ab + 2 \right) = 0$이므로 $a ^{2} + ab - 6 = 0$이다. 따라서 $a \left( a + b \right) = 6$이고 $a \leq a + b$이므로 $a = 1$, $a + b = 6$ 또는 $a = 2$, $a + b = 3$이다. 그러므로 $a = 1$, $b = 5$ 또는 $a = 2$, $b = 1$이다. $a \geq b$이므로 $a = 2$, $b = 1$이다. (ⅵ) $n = 8 k + 5$($k$는 음이 아닌 정수)일 때 $\displaystyle \cos \frac{n}{4} \pi = \cos \left( 2 k + \frac{5}{4} \right) \pi = \mathit{-} \frac{\sqrt{2}}{2}$이고 $\displaystyle \tan \frac{2 n + 1}{4} \pi = \tan \left( 4 k + \frac{11}{4} \right) \pi = \mathit{-} 1$이므로 $a ^{2} + b ^{2} + 2 ab - 4 = 0$, $b ^{2} + ab + 2 = 0$이다. $b ^{2} + ab + 2 = 0$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$는 존재하지 않는다. (ⅶ) $n = 8 k + 6$($k$는 음이 아닌 정수)일 때 $\displaystyle \cos \frac{n}{4} \pi = \cos \left( 2 k + \frac{3}{2} \right) \pi = 0$이고 $\displaystyle \tan \frac{2 n + 1}{4} \pi = \tan \left( 4 k + \frac{13}{4} \right) \pi = 1$이므로 $b ^{2} + ab + 2 = 0$이다. $b ^{2} + ab + 2 = 0$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$는 존재하지 않는다. (ⅷ) $n = 8 k + 7$($k$는 음이 아닌 정수)일 때 $\displaystyle \cos \frac{n}{4} \pi = \cos \left( 2 k + \frac{7}{4} \right) \pi = \frac{\sqrt{2}}{2}$이고 $\displaystyle \tan \frac{2 n + 1}{4} \pi = \tan \left( 4 k + \frac{15}{4} \right) \pi = \mathit{-} 1$이므로 $a ^{2} + b ^{2} + 2 ab - 4 = 0$, $b ^{2} + ab + 2 = 0$이다. $b ^{2} + ab + 2 = 0$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$는 존재하지 않는다. 따라서 $n = 8 k + 4$($k$는 음이 아닌 정수)이고 $a = 2$, $b = 1$이다. 그러므로 $\displaystyle a + b + \sin ^{2} \frac{n}{8} \pi = 2 + 1 + \sin ^{2} \left( k + \frac{1}{2} \right) \pi = 4$ 이다.