미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각함수 최댓값 위치

문제

함수 y=cos⁡x−cos⁡(x+π3)\displaystyle y = \cos x - \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right)가 x=αx = \alpha에서 최대값을 가질 때, tan⁡α\tan \alpha의 값은? (단, 0≤x<2π0 \leq x < 2 \pi) [3점] ①00②13\displaystyle \frac{1}{3}③33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}④11⑤3\displaystyle \sqrt{3}

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⑤

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해설

y=cos⁡x−cos⁡(x+π3)\displaystyle y = \cos x - \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) =cos⁡x−(cos⁡xcos⁡π3−sin⁡xsin⁡π3)\displaystyle = \cos x - \left( \cos x \cos \frac{\pi}{3} - \sin x \sin \frac{\pi}{3} \right) =32sin⁡x+12cos⁡x=sin⁡(x+π6)\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) yy는 x+π6=π2\displaystyle x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}일 때 최대값을 갖는다. ∴ α=π3\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{3}, tan⁡α=tan⁡π3=3\displaystyle \tan \alpha = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} (별해) y=cos⁡x−cos⁡(x+π3)=−2sin⁡(x+π6)sin⁡(−π6)\displaystyle y = \cos x - \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = - 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \sin \left( - \frac{\pi}{6} \right)=sin⁡(x+π6)\displaystyle = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)

태그

#삼각함수 합성#최대

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