삼각함수 최댓값

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이해하고 함수의 최댓값을 구한다. $f ( x )$$\displaystyle = 4 \sin x + 6 \cos ^{2} \frac{x}{2} + 1$ $\displaystyle = 4 \sin x + 6 \times \frac{1 + \cos x}{2} + 1$ $= 4 \sin x + 3 \cos x + 4$ $\displaystyle = 5 \left( \sin x \times \frac{4}{5} + \cos x \times \frac{3}{5} \right) + 4$ $= 5 \sin ( x + \alpha ) + 4$ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \\ \end{array} \right.$단, $\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\displaystyle \cos \alpha = \frac{4}{5}$$\displaystyle \left) \begin{array}{l} \\ \end{array} \right.$ $5 \sin ( x + \alpha )$의 최댓값이 $5$이므로 $f ( x )$의 최댓값은 $9$이다.