대수삼각함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각함수 최댓값

문제

함수 f(x)=sin⁡2x+sin⁡(x+π2)+1\displaystyle f ( x ) = \sin ^{2} x + \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \begin{matrix} \\ \end{matrix} + 1의 최댓값을 MM이라 할 때, 4M4 M의 값을 구하시오. [3점]

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9

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해설

[출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 함수의 최댓값을 구한다. sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x, sin⁡(x+π2)=cos⁡x\displaystyle \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos x이므로 f(x)f ( x )=sin⁡2x+sin⁡(x+π2)+1\displaystyle = \sin ^{2} x + \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) + 1 =1−cos⁡2x+cos⁡x+1= 1 - \cos ^{2} x + \cos x + 1 =−(cos⁡x−12)2+94\displaystyle = \mathit{-} \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{9}{4} 이때 −1≤cos⁡x≤1- 1 \leq \cos x \leq 1이므로 함수 f(x)f ( x )는 cos⁡x=12\displaystyle \cos x = \frac{1}{2}일 때 최댓값 94\displaystyle \frac{9}{4}를 갖는다. 따라서 M=94\displaystyle M = \frac{9}{4}이므로 4M=94 M = 9

태그

#삼각함수#이차함수 최대

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