삼각함수 최대최소

$\sin x - \cos x = t$라 하면 $\displaystyle \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$이므로 $\displaystyle - \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$이고 $t ^{2} = \sin ^{2} x - 2 \sin x \cos x + \cos ^{2} x = 1 - \sin 2 x$이므로 $\sin 2 x = 1 - t ^{2}$이다. ∴ $f ( x )$$= 2 \sin 2 x + 4 \sin x - 4 \cos x + 1$ $= 2 ( 1 - t ^{2} ) + 4 t + 1$ $= - 2 ( t - 1 ) ^{2} + 5$ ($\displaystyle - \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$) 따라서 $f ( x )$는 $t = 1$일 때 최댓값 $5$를 갖고 $\displaystyle t = - \sqrt{2}$일 때, 최솟값 $\displaystyle - 4 \sqrt{2} - 1$을 갖는다.

따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 $\displaystyle 4 - 4 \sqrt{2}$이다.