대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각함수 최대최소

문제

00이 아닌 실수 aa에 대하여 함수 f(x)={asin⁡x(x<0)1−cos⁡x(x≥0)\displaystyle f \left( x \right) = \begin{cases} a \sin x & & \left( x < 0 \right) \\ 1 - \cos x & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases} 이 있다. 닫힌구간 [−π,π]\left[ - \pi , \pi \right]에서 함수 f(x)f \left( x \right)의 최댓값과 최솟값을 각각 MM, mm이라 하자. M−m=4M - m = 4를 만족시키는 모든 aa의 값의 곱은? [4점] ①−12- 12②−10- 10③−8- 8④−6- 6⑤−4- 4

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③

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해설

(ⅰ) a>0a > 0인 경우 닫힌구간 [−π,π]\left[ - \pi , \pi \right]에서 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프는 다음과 같다.

M=2M = 2, m=−am = - a이므로 M−m=4M - m = 4를 만족시키는 실수 aa의 값은 2−(−a)=42 - \left( - a \right) = 4에서 a=2a = 2 (ⅱ) −2≤a<0- 2 \leq a < 0인 경우 닫힌구간 [−π,π]\left[ - \pi , \pi \right]에서 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프는 다음과 같다.

M=2M = 2, m=0m = 0이므로 M−m=4M - m = 4를 만족시키는 실수 aa는 존재하지 않는다. (ⅲ) a<−2a < - 2인 경우 닫힌구간 [−π,π]\left[ - \pi , \pi \right]에서 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프는 다음과 같다.

M=−aM = - a, m=0m = 0이므로 M−m=4M - m = 4를 만족시키는 실수 aa의 값은 −a=4- a = 4에서 a=−4a = - 4 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 모든 aa의 값의 곱은 2×(−4)=−82 \times \left( - 4 \right) = - 8

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