삼각함수 최대·최소 위치

$\displaystyle f \left( x \right) = \cos ^{2} \left( \frac{13}{12} \pi - 2 x \right) + \sqrt{3} \cos \left( 2 x - \frac{7}{12} \pi \right) - 1$에서 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \cos ^{2} \left( \frac{13}{12} \pi - 2 x \right) + \sqrt{3} \cos \left( 2 x - \frac{7}{12} \pi \right) - 1$ $\displaystyle = \cos ^{2} \left( \pi + \frac{1}{12} \pi - 2 x \right) + \sqrt{3} \cos \left( - \frac{\pi}{2} + 2 x - \frac{\pi}{12} \right) - 1$ $\displaystyle = \cos ^{2} \left( 2 x - \frac{\pi}{12} \right) + \sqrt{3} \sin \left( 2 x - \frac{\pi}{12} \right) - 1$ $\displaystyle = 1 - \sin ^{2} \left( 2 x - \frac{\pi}{12} \right) + \sqrt{3} \sin \left( 2 x - \frac{\pi}{12} \right) - 1$ $\displaystyle = - \sin ^{2} \left( 2 x - \frac{\pi}{12} \right) + \sqrt{3} \sin \left( 2 x - \frac{\pi}{12} \right)$ $\displaystyle 2 x - \frac{\pi}{12} = t$라 하면 $0 \leq x < 2 \pi$이므로 $\displaystyle - \frac{\pi}{12} \leq 2 x - \frac{\pi}{12} < \frac{47}{12} \pi$ 이므로 $\displaystyle - 1 \leq \sin \left( 2 x - \frac{\pi}{12} \right) \leq 1$ $\displaystyle \sin \left( 2 x - \frac{\pi}{12} \right) = k$라 하면 $\displaystyle f \left( k \right) = - k ^{2} + \sqrt{3} k$이고 함수 $y = f \left( k \right)$의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 함수 $f \left( k \right)$는 $k = - 1$일 때 최솟값을 가지고 $\displaystyle k = \frac{\sqrt{3}}{2}$일 때 최댓값을 가진다. 한편, 곡선 $y = \sin t$의 그래프와 직선 $y = - 1$, $\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{2}$을 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

이때 $\beta - \alpha$는 $\beta$가 최대이고 $\alpha$가 최소일 때 최댓값을 가지므로 $\beta$가 최대일 때는 $\displaystyle t = \frac{7}{2} \pi$이므로 $\displaystyle 2 \beta - \frac{\pi}{12} = \frac{7}{2} \pi$ $\therefore$ $\displaystyle \beta = \frac{43}{24} \pi$ $\alpha$가 최소일 때는 $\displaystyle t = \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle 2 \alpha - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$ $\therefore$ $\displaystyle \alpha = \frac{5}{24} \pi$ $\displaystyle \frac{12}{\pi} \times \left( \beta - \alpha \right)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{12}{\pi} \times \left( \frac{43}{24} \pi - \frac{5}{24} \pi \right) = \frac{12}{\pi} \times \frac{38}{24} \pi = 19$