삼각함수 최대 최소

$f \left( x \right)$$= \cos ^{2} x - \sin x - 1$$= \left( 1 - \sin ^{2} x \right) - \sin x - 1$ $\displaystyle = - \sin ^{2} x - \sin x = - \left( \sin x + \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{1}{4}$ $f \left( \pi \right) = 0$이고 $\pi$가 구간 $\left( \pi , a \right]$에 속하지 않으므로 구간 $\left( \pi , a \right]$에서 함수 $f \left( x \right)$가 최솟값을 갖기 위해서는 $f \left( x \right) \leq 0$을 만족시키는 $x$의 값이 구간 $\left( \pi , a \right]$에 존재해야 한다. $f \left( x \right) \leq 0$에서 $\sin x = - 1$ 또는 $\sin x \geq 0$ $x > \pi$에서 $\sin x = - 1$인 $x$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$ $x > \pi$에서 $\sin x \geq 0$인 $x$의 최솟값은 $2 \pi$ 그러므로 $\displaystyle p = \frac{3}{2} \pi$ 한편 구간 $\displaystyle \left( \pi , \frac{3}{2} \pi \right]$에서 $- 1 \leq \sin x < 0$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = - \left( \sin x + \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}$ 그러므로 $\displaystyle M = \frac{1}{4}$ 따라서 $\displaystyle p \times M = \frac{3}{8} \pi$