삼각함수 분수식 극값

[출제의도] 삼각함수의 합성과 미분을 이용하여 그래프의 성질 추론하기 $\displaystyle t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} {\mathrm{\sin}} \left( \mathit{x} + \frac{\pi}{4} \right)$라 놓으면 $\displaystyle - \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ $\displaystyle g ( t ) = \frac{t}{t - 2} = 1 + \frac{2}{t - 2}$ ㄱ. $\displaystyle t = \sqrt{2}$일 때, 최솟값 $\displaystyle - 1 - \sqrt{2}$ (참) ㄴ. $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$일 때, $\displaystyle t = \sqrt{2}$에서 최솟값 (거짓) ㄷ. $f ( x )$$\displaystyle = 1 + \frac{2}{\sqrt{2} {\mathrm{\sin}} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - 2}$이다. $\displaystyle f' ( x ) = - \frac{2 \sqrt{2} \mathrm{\cos} \mathit{\left( x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\left. \left( \sqrt{2} \mathrm{\sin} \mathit{\left( x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2 \right. \right) ^{2}}$이므로 $\displaystyle x = 2 n \pi + \frac{\pi}{4}$ ($n$은 정수)에서 극솟값을 갖고 $\displaystyle x = 2 n \pi + \frac{5}{4} \pi$ ($n$은 정수)에서 극댓값을 갖는다.(참)