기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각기둥 선분의 길이

문제

오른쪽 삼각기둥에서 두 정사각형 ABFE\mathrm{ABFE}와 CDEF\mathrm{CDEF}의 한 변의 길이는 11이다. ∠AED=θ\mathrm{\angle} AED = \theta일 때, 선분 BD\mathrm{BD}의 길이를 θ\theta의 함수로 나타낸 것은? [3점]

①3−2cos⁡θ\displaystyle \sqrt{3 - 2 \cos \theta}②3+2cos⁡θ\displaystyle \sqrt{3 + 2 \cos \theta}③3\displaystyle \sqrt{3}④3−2sin⁡θ\displaystyle \sqrt{3 - 2 \sin \theta}⑤3+2sin⁡θ\displaystyle \sqrt{3 + 2 \sin \theta}

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①

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해설

△ADE\triangle ADE에서 AE‾=DE‾=1\displaystyle \overline{AE} = \overline{DE} = 1 코사인 제22법칙에 의하여 AD‾=12+12−2⋅1⋅1cos⁡θ\displaystyle \overline{AD} = \sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cos \theta}=2−2cos⁡θ\displaystyle = \sqrt{2 - 2 \cos \theta} 그림에서 EF‾⊥AE‾,\displaystyle \overline{EF} \perp \overline{AE} , EF‾⊥DE‾\displaystyle \overline{EF} \perp \overline{DE}이므로 EF‾⊥△ADE\displaystyle \overline{EF} \perp \triangle ADE 따라서 AB‾⊥AD‾(∵EF‾//AB‾)\displaystyle \overline{AB} \perp \overline{AD} ( \because \overline{EF} / / \overline{AB} ) AB‾=1\displaystyle \overline{AB} = 1이므로 직사각형 ABCDABCD에서 BD‾=AB‾2+AD‾2=1+2−2cos⁡θ\displaystyle \overline{BD} = \sqrt{{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AD}} ^{2}} = \sqrt{1 + 2 - 2 \cos \theta}=3−2cos⁡θ\displaystyle = \sqrt{3 - 2 \cos \theta}

태그

#코사인법칙#삼수선

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