미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각부등식과 tan 범위

문제

tan⁡α=−512(32π<α<2π)\displaystyle \tan \alpha = \mathit{-} \frac{5}{12} \left( \frac{3}{2} \pi < \alpha < 2 \pi \right)이고 0≤x<π2\displaystyle 0 \leq x < \frac{\pi}{2}일 때, 부등식 cos⁡x≤sin⁡(x+α)≤2cos⁡x\cos x \leq \sin \left( x + \alpha \right) \leq 2 \cos x 를 만족시키는 xx에 대하여 tan⁡x\tan x의 최댓값과 최솟값의 합은? [4점] ①3112\displaystyle \frac{31}{12}②3712\displaystyle \frac{37}{12}③4312\displaystyle \frac{43}{12}④4912\displaystyle \frac{49}{12}⑤5512\displaystyle \frac{55}{12}

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④

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기 32π<α<2π\displaystyle \frac{3}{2} \pi < \alpha < 2 \pi에서 tan⁡α=−512\displaystyle \tan \alpha = - \frac{5}{12}이므로 sin⁡α=−513\displaystyle \sin \alpha = - \frac{5}{13}, cos⁡α=1213\displaystyle \cos \alpha = \frac{12}{13} sin⁡(x+α)\sin \left( x + \alpha \right)=sin⁡xcos⁡α+cos⁡xsin⁡α= \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha =1213sin⁡x−513cos⁡x\displaystyle = \frac{12}{13} \sin x - \frac{5}{13} \cos x cos⁡x≤1213sin⁡x−513cos⁡x≤2cos⁡x\displaystyle \cos x \leq \frac{12}{13} \sin x - \frac{5}{13} \cos x \leq 2 \cos x 양변을 cos⁡x\cos x로 나누면 1≤1213tan⁡x−513≤2\displaystyle 1 \leq \frac{12}{13} \tan x - \frac{5}{13} \leq 2 32≤tan⁡x≤3112\displaystyle \frac{3}{2} \leq \tan x \leq \frac{31}{12}에서 최댓값은 3112\displaystyle \frac{31}{12}, 최솟값은 32\displaystyle \frac{3}{2} 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 4912\displaystyle \frac{49}{12}

태그

#삼각함수의 덧셈정리#부등식

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