삼각부등식 정수해

부등식 $\displaystyle \left( \sin \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} \right) \left( \cos \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} \right) < 0$의 해는 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} > 0$, $\displaystyle \cos \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} < 0$ 또는 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} < 0$, $\displaystyle \cos \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} > 0$이다.

(ⅰ) $\displaystyle \sin \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} > 0$, $\displaystyle \cos \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} < 0$일 때, $\displaystyle \sin \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} > 0$에서 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{12} x > \frac{1}{2}$이므로 $2 < x < 10$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle \cos \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} < 0$에서 $\displaystyle \cos \frac{\pi}{12} x < \frac{1}{2}$이므로 $4 < x < 20$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡의 공통부분은 $4 < x < 10$이므로 정수 $x$의 개수는 $5$이다. (ⅱ) $\displaystyle \sin \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} < 0$, $\displaystyle \cos \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} > 0$일 때, $\displaystyle \sin \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} < 0$에서 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{12} x < \frac{1}{2}$이므로 $0 \leq x < 2$ 또는 $10 < x < 24$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ $\displaystyle \cos \frac{\pi}{12} x - \frac{1}{2} > 0$에서 $\displaystyle \cos \frac{\pi}{12} x > \frac{1}{2}$이므로 $0 \leq x < 4$ 또는 $20 < x < 24$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉢과 ㉣의 공통부분은 $0 \leq x < 2$ 또는 $20 < x < 24$이므로 정수 $x$의 개수는 $5$이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 주어진 부등식을 만족시키는 정수 $x$의 개수는 $10$이다.