삼각부등식 최댓값

[출제의도] 삼각함수의 합 또는 차를 곱으로 변형하기 $\displaystyle \left. \sin ( x + y ) - \sin \left\{ \frac{\pi}{2} - ( x - y ) \right\} \geq 0 \right.$ $\displaystyle 2 \cos \left( y + \frac{\pi}{4} \right) \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \geq 0$ ⅰ) $\displaystyle \left. \cos \left( y + \frac{\pi}{4} \right) \geq 0 \right.$, $\displaystyle \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \geq 0$인 경우 $\displaystyle \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$이고 $\displaystyle 0 \leq y \leq \frac{\pi}{4}$이다. ⅱ) $\displaystyle \cos \left( y + \frac{\pi}{4} \right) \leq 0$, $\displaystyle \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \leq 0$인 경우 $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$이고 $\displaystyle \frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle y = \frac{\pi}{2}$ 일 때 $x + 2 y$의 최댓값은$\displaystyle \frac{5}{4} \pi$이다.