삼각부등식

$0 \leq x \leq 2 \pi$일 때 주어진 부등식 $\displaystyle \cos x \leq \sin \frac{\pi}{7}$을 만족시키는 모든 $x$의 값의 범위는 다음 그림에서와 같이 $\alpha \leq x \leq \beta$이다.

이때 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{7} > 0$이고 함수 $y = \cos x$의 그래프는 직선 $x = \pi$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \frac{\pi}{2} - \alpha = \beta - \frac{3}{2} \pi = t$ 로 놓으면 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{7}$$= \cos \alpha$$\displaystyle = \cos \left( \frac{\pi}{2} - t \right)$$= \sin t$ $\therefore$ $\displaystyle t = \frac{\pi}{7}$ $\therefore$ $\beta - \alpha$$\displaystyle = \left( \frac{3}{2} \pi + t \right) - \left( \frac{\pi}{2} - t \right)$$\displaystyle = \frac{9}{7} \pi$ [다른 풀이] $\displaystyle \sin \frac{\pi}{7} = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7} \right) = \cos \frac{5}{14} \pi$이므로 부등식 $\displaystyle \cos x \leq \sin \frac{\pi}{7}$에서 $\displaystyle \cos x \leq \cos \frac{5}{14} \pi$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{5}{14} \pi \leq x \leq 2 \pi - \frac{5}{14} \pi$ $\displaystyle \alpha = \frac{5}{14} \pi$, $\displaystyle \beta = \frac{23}{14} \pi$이므로 $\displaystyle \beta - \alpha = \frac{9}{7} \pi$