대수삼각함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각방정식의 실근 개수와 합

문제

자연수 nn에 대하여 0≤x≤2π0 \leq x \leq 2 \pi에서 방정식 ∣sin⁡nx∣=23\displaystyle \left| \sin nx \right| = \frac{2}{3}의 서로 다른 실근의 개수를 ana _{n}, 서로 다른 모든 실근의 합을 bnb _{n}이라 할 때, a5b6=kπa _{5} b _{6} = k \pi이다. 자연수 kk의 값을 구하시오. [3점]

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480

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해설

y=∣sin⁡nx∣y = \left| \sin nx \right|의 주기는 πn\displaystyle \frac{\pi}{n}이고, 한 주기구간마다 2개의 실근을 갖는다. 따라서 an=4na _{n} = 4 n, bn=4nπb _{n} = 4 n \pi ∴a5b6=20×24π=480π\therefore a _{5} b _{6} = 20 \times 24 \pi = 480 \pi ∴k=480\therefore k = 480

태그

#삼각함수#방정식의 실근

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