삼각방정식의 실근

[출제의도] 삼각함수를 이용하여 추론하기 $2 \left( 1 - \cos ^{2} x \right) - 3 \cos x = k$ $2 \cos ^{2} x + 3 \cos x + k - 2 = 0$ $0 \leq x \leq 2 \pi$에서 함수 $y = \cos x$의 그래프는 그림과 같다.

상수 $a$에 대하여 $0 \leq x \leq 2 \pi$에서 곡선 $y = \cos x$와 직선 $y = a$가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $a = \mathit{-} 1$일 때 $1$이고, $- 1 < a \leq 1$일 때 $2$이므로 $0 \leq x \leq 2 \pi$일 때, 방정식 $2 \cos ^{2} x + 3 \cos x + k - 2 = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이려면 $x = \pi$가 이 방정식의 실근이어야 한다. $2 \times \left( - 1 \right) ^{2} + 3 \times \left( - 1 \right) + k - 2 = 0$에서 $k = 3$ $2 \cos ^{2} x + 3 \cos x + 1 = \left( 2 \cos x + 1 \right) \left( \cos x + 1 \right) = 0$ 에서 $\displaystyle \cos x = \mathit{-} \frac{1}{2}$ 또는 $\cos x = \mathit{-} 1$ $\displaystyle x = \frac{2}{3} \pi$ 또는 $\displaystyle x = \frac{4}{3} \pi$ 또는 $x = \pi$ 따라서 $\displaystyle k \times \alpha = 3 \times \frac{4}{3} \pi = 4 \pi$