대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각방정식 해의 합

문제

0≤x<2π0 \leq x < 2 \pi일 때, 방정식 sin⁡xcos⁡(π2−x)=13\displaystyle \sin x \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \frac{1}{3}의 모든 해의 합은? [3점] ①π\pi②2π2 \pi③3π3 \pi④4π4 \pi⑤5π5 \pi

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④

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해설

cos⁡(π2−x)=sin⁡x\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x이므로 sin⁡2x=13\displaystyle \sin ^{2} x = \frac{1}{3} sin⁡x=33\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{3}}{3} 또는 sin⁡x=−33\displaystyle \sin x = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{3} sin⁡θ=sin⁡(π−θ)\sin \theta = \sin \left( \pi - \theta \right)이므로

α\alpha π−α\pi - \alpha π+α\pi + \alpha 2π−α2 \pi - \alpha y=33\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3} y=−33\displaystyle y = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{3} y=sin⁡xy = \sin x

구하는 해는 x=αx = \alpha, π−α\pi - \alpha, π+α\pi + \alpha, 2π−α2 \pi - \alpha 따라서 모든 해의 합은 4π4 \pi

태그

#삼각방정식#대칭성

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