대수삼각함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼각방정식 근의 합

문제

0<x<2π0 < x < 2 \pi에서 삼각방정식 3sin⁡x+3sin⁡xcos⁡2x−6sin⁡xcos⁡x−cos⁡x+1=03 \sin x + 3 \sin x \cos 2 x - 6 \sin x \cos x - \cos x + 1 = 0 의 모든 실근의 합은? [3점] ①52π\displaystyle \frac{5}{2} \pi②3π3 \pi③72π\displaystyle \frac{7}{2} \pi④4π4 \pi⑤92π\displaystyle \frac{9}{2} \pi

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②

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해설

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2 x = 2 \cos ^{2} x - 1이므로 (준식)=6sin⁡xcos⁡2x−6sin⁡xcos⁡x−cos⁡x+1= 6 \sin x \cos ^{2} x - 6 \sin x \cos x - \cos x + 1 =6sin⁡cos⁡x(cos⁡x−1)−(cos⁡x−1)= 6 \sin \cos x ( \cos x - 1 ) - ( \cos x - 1 ) =(cos⁡x−1)(6sin⁡xcos⁡x−1)= ( \cos x - 1 ) ( 6 \sin x \cos x - 1 ) =(cos⁡x−1)(3sin⁡2x−1)= ( \cos x - 1 ) ( 3 \sin 2 x - 1 ) =0= 0 0<x<2π0 < x < 2 \pi이므로 cos⁡x≠1\cos x \ne 1 ∴ sin⁡2x=13\displaystyle \sin 2 x = \frac{1}{3}

위의 그림에서 sin⁡2x=13\displaystyle \sin 2 x = \frac{1}{3}를 만족하는 실근은 0<x<2π0 < x < 2 \pi범위에서 44개이고, 이 중 두근은 x=π4\displaystyle x = \frac{\pi}{4}에 대칭이고 남은 두 근은 x=π+π4\displaystyle x = \pi + \frac{\pi}{4}에 대하여 대칭이므로 구하는 모든 실근의 합은 2{π4+(π+π4)}\displaystyle 2 \left\{ \frac{\pi}{4} + \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) \right\}=3π= 3 \pi

태그

#삼각방정식#대칭

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