미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각 합성함수 최대최소

문제

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 f(x)=x3−3x2+15f ( x ) = x ^{3} - 3 x ^{2} + 15, g(x)=sin⁡x+3cos⁡x\displaystyle g ( x ) = \sin x + \sqrt{3} \cos x 에 대하여 합성함수 (f∘g)(x)( f \circ g ) ( x )의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점]

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1010

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해설

[출제의도] 함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는지 묻는 문제이다. g(x)=g ( x ) =2sin⁡(x+π3)=t\displaystyle 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = t라 하면 −2≤t≤2- 2 \leq t \leq 2이다. (f∘g)(x)=f(t)=t3−3t2+15( f \circ g ) ( x ) = f ( t ) = t ^{3} - 3 t ^{2} + 15에서 f′(t)=3t(t−2)f' ( t ) = 3 t ( t - 2 )이므로 f(t)f ( t )는 t=0t = 0에서 극대이다. 따라서 f(0)=15f ( 0 ) = 15, f(−2)=−5f ( - 2 ) = - 5, f(2)=11f ( 2 ) = 11이므로 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 f(0)+f ( 0 ) +f(−2)=f ( - 2 ) =1010이다.

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#삼각함수 합성#최대 최소

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