삼차함수와 역함수, 직선으로 둘러싸인 넓이

방정식 $x ^{3} + 6 x ^{2} + 13 x + 8 = x$, $\left( x + 2 \right) ^{3} = 0$에서 $x = - 2$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = x$는 위의 그림과 같다. 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = x$, $y$축으로 둘러싸인 넓이와 곡선 $y = g \left( x \right)$와 직선 $y = x$, $x$축으로 둘러싸인 넓이가 서로 같으므로 구하는 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = 2 \times \int _{- 2} ^{0} {} \left( x ^{3} + 6 x ^{2} + 13 x + 8 - x \right) dx + \frac{1}{2} \times 8 \times 8$ $\displaystyle = 2 \left[ \frac{1}{4} x ^{4} + 2 x ^{3} + 6 x ^{2} + 8 x \right] _{- 2} ^{0} + 32$ $= 2 \left( - 28 + 32 \right) + 32$ $= 40$