미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차함수와 직선의 교점

문제

곡선 $y = x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x$ 와 직선 $y = k$ 가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 $k$ 의 최댓값을 $M$ , 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M - m$ 의 값은? [3점] ① $27$ ② $28$ ③ $29$ ④ $30$ ⑤ $31$

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④

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해설

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 방정식에 대한 문제를 해결한다. $f ( x )$ $= x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x$ 라 하면 $f' ( x )$ $= 3 x ^{2} - 6 x - 9$ $= 3 ( x + 1 ) ( x - 3 )$ $f' ( x )$ $= 0$ 에서 $x = \mathit{-} 1$ 또는 $x = 3$ 함수 $f ( x )$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면

$x$	$\cdots$	$- 1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f' ( x )$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f ( x )$	$\nearrow$	$5$	$\searrow$	$- 27$	$\nearrow$

이고, 함수 $f ( x )$ 의 그래프를 그리면 다음과 같다.

직선 $y$ $= k$ 는 $x$ 축에 평행하므로 함수 $y$ $= f ( x )$ 의 그래프와 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 $k$ 의 값의 범위는 $- 27 < k < 5$ 그러므로 정수 $k$ 의 최댓값 $M$ $= 4$ , 최솟값 $m$ $= \mathit{-} 26$ 따라서 $M - m$ $= 4 - ( - 26 )$ $= 30$

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