삼차함수와 직선으로 둘러싸인 두 넓이의 차

삼차함수 $f ( x ) = x ^{3} - x ^{2} - 2 x$에 대하여 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = kx$는 서로 다른 세 점에서 만난다. 원점이 아닌 두 교점의 $x$좌표를 $a$, $b \left( a < b \right)$라 하자. $x ^{3} - x ^{2} - 2 x = kx$, $x \left\{ x ^{2} - x - \left( k + 2 \right) \right\} = 0$ $x = 0$ 또는 $x ^{2} - x - \left( k + 2 \right) = 0$ 방정식 $x ^{2} - x - \left( k + 2 \right) = 0$의 두 실근이 $a$, $b$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $a + b = 1$, $ab = - k - 2$ $\left( b - a \right) ^{2} = \left( a + b \right) ^{2} - 4 ab$이므로 $\left( b - a \right) ^{2} = 4 k + 9$, $\displaystyle b - a = \sqrt{4 k + 9}$ $a + b = 1$이므로 $\displaystyle b ^{2} - a ^{2} = \sqrt{4 k + 9}$ $a ^{2} + b ^{2} = \left( a + b \right) ^{2} - 2 ab$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 2 k + 5$ $S _{2} - S _{1} = 18$이므로 $S _{1} - S _{2} = - 18$ $S _{1} - S _{2}$$\displaystyle = \int _{a} ^{0} {} \left\{ f \left( x \right) - kx \right\} dx - \int _{0} ^{b} {} \left\{ kx - f \left( x \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{a} ^{0} {} \left\{ f \left( x \right) - kx \right\} dx + \int _{0} ^{b} {} \left\{ f \left( x \right) - kx \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{a} ^{b} {} \left\{ f \left( x \right) - kx \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{a} ^{b} {} \left\{ x ^{3} - x ^{2} - \left( k + 2 \right) x \right\} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} x ^{4} - \frac{1}{3} x ^{3} - \frac{k + 2}{2} x ^{2} \end{array} \right] _{a} ^{b}$ $\displaystyle = \frac{b ^{4} - a ^{4}}{4} - \frac{b ^{3} - a ^{3}}{3} - \frac{k + 2}{2} \left( b ^{2} - a ^{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{4 k + 9} \left( 2 k + 5 \right)}{4} - \frac{\sqrt{4 k + 9} \left( k + 3 \right)}{3}$$\displaystyle - \frac{\sqrt{4 k + 9} \left( k + 2 \right)}{2}$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{4 k + 9} \left( \frac{2 k + 5}{4} - \frac{k + 3}{3} - \frac{k + 2}{2} \right) = - 18$ $\displaystyle \left( \sqrt{4 k + 9} \right) ^{3} = 2 ^{3} \times 3 ^{3}$, $\displaystyle \sqrt{4 k + 9} = 6$ $\therefore$ $\displaystyle k = \frac{27}{4}$