삼차함수와 접선

[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 삼차함수의 그래프를 추론하여 함숫값을 구할 수 있는가? $f ( x ) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$ ($a , b , c , d$는 상수)로 놓을 수 있다. $f ( 0 ) = 0$이므로 $d = 0$ $f' ( x ) = 3 ax ^{2} + 2 bx + c$에서 $f' ( 1 ) = 1$이므로 $3 a + 2 b + c = 1 \cdots \cdots \text{㉠}$ 조건 (가)와 조건 (나)에서 곡선 $y = f ( x )$는 두 직선 $y = x , y = - x$와 각각 두 점에서 만나야 한다. 이때 $f ( 0 ) = 0 , f' ( 1 ) = 1$이므로 곡선 $y = f ( x )$는 그림과 같이 직선 $y = x$와 원점에서 접하고, 직선 $y = - x$와 점 $( \alpha , f ( \alpha ) ) ( \alpha > 0 )$에서 접해야 한다.

즉, $f' ( 0 ) = 1$이므로 $c = 1$ 이때 $\text{㉠}$에서 $3 a + 2 b = 0$이므로 $\displaystyle b = - \frac{3}{2} a$ 따라서 $\displaystyle f ( x ) = ax ^{3} - \frac{3}{2} ax ^{2} + x$이다. 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = - x$의 접점의 $x$좌표가 $\alpha$이므로 $f ( \alpha ) = - \alpha$에서 $\displaystyle a \alpha ^{3} - \frac{3}{2} a \alpha ^{2} + \alpha = - \alpha$ 이때 $\alpha > 0$이므로 $2 a \alpha ^{2} - 3 a \alpha + 4 = 0 \cdots \cdots \text{㉡}$ $f' ( \alpha ) = - 1$이므로 $3 a \alpha ^{2} - 3 a \alpha + 1 = - 1$ $3 a \alpha ^{2} - 3 a \alpha + 2 = 0 \cdots \cdots \text{㉢}$ $\text{㉡} , \text{㉢}$에서 $\displaystyle \alpha = \frac{3}{4} , a = \frac{32}{9}$ 따라서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{32}{9} x ^{3} - \frac{16}{3} x ^{2} + x$ 이므로 $f ( 3 ) = 32 \times 3 - 16 \times 3 + 3 = 51$