미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

삼차함수와 절댓값 함수

문제

좌표평면에서 두 함수 f(x)=6x3−xf ( x ) = 6 x ^{3} - x, g(x)=∣x−a∣g ( x ) = \left| x - a \right| 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수 aa의 값의 합은? [4점] ①−1118\displaystyle - \frac{11}{18}②−59\displaystyle - \frac{5}{9}③−12\displaystyle - {\frac{1}{2}}④−49\displaystyle - \frac{4}{9}⑤−718\displaystyle - \frac{7}{18}

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④

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해설

두 함수 f(x)=6x3−xf ( x ) = 6 x ^{3} - x와 g(x)=∣x−a∣g ( x ) = | x - a |의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 다음 그림과 같다.

<그림1>< \text{그림} 1 >에서 직선 g(x)=x−ag ( x ) = x - a가 곡선 f(x)=6x3−xf ( x ) = 6 x ^{3} - x 위의 점 P\mathrm{P}에서 접하므로 f′(x)=1f' ( x ) = 1에서 18x2−1=118 x ^{2} - 1 = 1, x2=19\displaystyle x ^{2} = \frac{1}{9} ∴ x=−13\displaystyle x = - \frac{1}{3} (x<0x < 0) 이때, 접점 P\mathrm{P}의 좌표는 (−13,19)\displaystyle \left( - \frac{1}{3} , \frac{1}{9} \right)이므로 19=−13−a\displaystyle \frac{1}{9} = - \frac{1}{3} - a ∴ a=−49\displaystyle a = - \frac{4}{9}

<그림2>< \text{그림} 2 >에서 직선 g(x)=−x+ag ( x ) = - x + a가 곡선 f(x)=6x3−xf ( x ) = 6 x ^{3} - x 위의 점 Q\mathrm{Q}에서 접하므로 f′(x)=−1f' ( x ) = - 1에서 18x2−1=−118 x ^{2} - 1 = - 1, 18x2=018 x ^{2} = 0 ∴ x=0x = 0 이때, 접점 Q\mathrm{Q}의 좌표는 (0,0)( 0 , 0 )이므로 0=0+a0 = 0 + a ∴ a=0a = 0 따라서 구하는 모든 실수 aa의 값의 합은 −49+0=−49\displaystyle - \frac{4}{9} + 0 = - \frac{4}{9}

태그

#접선#교점 개수

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