미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차함수의 극값과 절댓값 방정식

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)f ( x )의 도함수 f′(x)f' ( x )는 x=−1x = - 1에서 최솟값을 갖는다. 방정식 ∣f(x)−f(−3)∣=k\left| f ( x ) - f ( - 3 ) \right| = k 가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 kk의 값의 범위는 0<k<m0 < k < m이다. 실수 mm의 최댓값은? [5점] ①8②16③24④32⑤40

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④

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해설

주어진 조건을 만족하는 때는 x=−3x = - 3에서 극댓값을 갖고, x=1x = 1에서 극솟값을 가질 때이고 구하는 mm의 최댓값은 극댓값과 극솟값의 차이다 따라서 f′(x)=3(x+3)(x−1)=3x2+6x−9f' ( x ) = 3 ( x + 3 ) ( x - 1 ) = 3 x ^{2} + 6 x - 9 f(x)=x3+3x2−9x+Cf ( x ) = x ^{3} + 3 x ^{2} - 9 x + C ∴m=f(−3)−f(1)=32\therefore m = f ( - 3 ) - f ( 1 ) = 32

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#극값#절댓값방정식

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