미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차함수의 극댓값

문제

함수 f(x)=x3+ax2+bx+1f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + 1은 x=−1x = - 1에서 극대이고, x=3x = 3에서 극소이다. 함수 f(x)f ( x )의 극댓값은? (단, aa, bb는 상수이다.) [3점] ①0\mathrm{0}②3\mathrm{3}③6\mathrm{6}④9\mathrm{9}⑤12\mathrm{12}

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③

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해설

f(x)=x3+ax2+bx+1f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + 1에서 f′(x)=3x2+2ax+bf' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b 함수 f(x)f ( x )가 x=−1x = - 1, x=3x = 3에서 극값을 가지므로, 이차방정식 3x2+2ax+b=03 x ^{2} + 2 ax + b = 0의 서로 다른 두 실근이 −1- 1, 33이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 −1+3=−2a3\displaystyle - 1 + 3 = - \frac{2 a}{3}, −1×3=b3\displaystyle - 1 \times 3 = \frac{b}{3} ∴\therefore a=−3a = - 3, b=−9b = - 9 f(x)=x3−3x2−9x+1f ( x ) = x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x + 1이므로 극댓값은 x=−1x = - 1일 때, 66이다.

태그

#극대와 극소

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