미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수가 x축에 접함

문제

삼차함수 y=x3−3ax2+4ay = x ^{3} - 3 a x ^{2} + 4 a의 그래프가 xx축에 접할 때, aa 의 값은? (단, a>0a > 0) [3점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④11⑤43\displaystyle \frac{4}{3}

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④

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해설

y=x3−3ax2+4ay = x ^{3} - 3 ax ^{2} + 4 a이므로 y′=3x2−6ax=3x(x−2a)=0y' = 3 x ^{2} - 6 ax = 3 x ( x - 2 a ) = 0이라면 yy는 x=0x = 0에서 극대값, x=2ax = 2 a에서 극소값을 갖는다. (∵a>0)( \because a > 0 ) 그런데 x=0x = 0일 때, f(0)=4a>0f ( 0 ) = 4 a > 0이므로 그래프의 개형은 그림과 같다.

따라서 주어진 삼차함수는 x=2ax = 2 a에서 xx축에 접한다. ∴f(2a)=8a3−12a3+4a=0\therefore f ( 2 a ) = 8 a ^{3} - 12 a ^{3} + 4 a = 0에서 a=1a = 1

태그

#극값#삼차함수 그래프

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