삼차함수 실근 판정

$f ( x ) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d ( a \ne 0 )$라 두면 $g ( x ) = f' ( x ) = 3 ax ^{2} + 2 bx + c$이고 $g ( 0 ) = 0$이므로 $c = 0$ $h ( x ) = g' ( x ) = 6 ax + 2 b$이고 $h ( 0 ) = 0$이므로 $b = 0$ $f ( x ) = ax ^{3} + d$ 또, $h' ( x ) = 6 a$에서 $h' ( 0 ) = 6 a$이므로 조건 $f ( 0 ) h' ( 0 ) = 6 ad < 0$에서 $ad < 0$이다. 그러므로 함수$f ( x ) = ax ^{3} + d$의 그래프는 $y = ax ^{3}$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $d$만큼 평행이동한 그래프이므로 항상 $x$축의 양의 방향에서 한 점에서 만나므로 방정식 $f ( x ) = 0$은 한 개의 양의 실근을 갖는다.