미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차함수 평균변화율 보기

문제

삼차함수 f(x)=x(x−α)(x−β)f \left( x \right) = x \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) (0<α<β0 < \alpha < \beta)와 두 실수 aa, bb에 대하여 함수 g(x)g \left( x \right)를 g(x)=f(a)+(b−a)f′(x)g \left( x \right) = f \left( a \right) + \left( b - a \right) f' \left( x \right) 라고 하자. a<0a < 0, α<b<β\alpha < b < \beta일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] [보 기]

ㄱ. xx에 대한 방정식 g(x)=f(a)g \left( x \right) = f \left( a \right)는 실근을 갖는다. ㄴ. g(b)>f(a)g \left( b \right) > f \left( a \right) ㄷ. g(a)>f(b)g \left( a \right) > f \left( b \right)

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. g(x)=f(a)g ( x ) = f ( a ) f(a)+(b−a)f′(x)−f(a)=0f ( a ) + ( b - a ) f' ( x ) - f ( a ) = 0의 방정식이므로 (b−a)f′(x)=0( b - a ) f' ( x ) = 0 b−ab - a>0> 0이고 f′(x)f' ( x )는 서로 다른 두 실근을 가지므로 g(x)=f(a)g ( x ) = f ( a )는 실근을 갖는다. ㄴ. g(b)>f(a)g ( b ) > f ( a ) g(b)−f(a)g ( b ) - f ( a )는 f(a)+(b−a)f′(b)−f(a)f ( a ) + ( b - a ) f' ( b ) - f ( a )==(b−a)f′(b)( b - a ) f' ( b )이므로 f′(b)f' ( b )의 부호는 양, 음을 다 가질 수 있으므로 g(b)>f(a)g ( b ) > f ( a )임을 확신할 수 없다. ㄷ. g(a)>f(b)g ( a ) > f ( b ) g(a)−f(b)=f(a)+(b−a)f′(a)−f(b)g ( a ) - f ( b ) = f ( a ) + ( b - a ) f' ( a ) - f ( b )이므로 (b−a){f′(a)−(f(b)−f(a)b−a)}\displaystyle ( b - a ) \left\{ f' ( a ) - \left( \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} \right) \right\}의 부호를 판단하자. aa에서의 접선의 기울기와 a∼ba \sim b사이의 평균변화율을 살펴보면 aa에서의 접선의 기울기가 a∼ba \sim b사이의 평균변화율보다 크므로 참이다.

태그

#평균값 정리#삼차함수#보기

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