삼차함수 미분계수 극한

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f ( x )}{x ^{3}}} = 1$이므로 $f ( x )$는 삼차함수이고 삼차항의 계수는 $1$이다. 따라서 $f' ( x )$는 이차함수이고 이차항의 계수는 $3$이다. $x = - 1$과 $x = 2$에서 극값을 가지므로 $f' ( x )$는 $x + 1$과 $x - 2$를 인수로 갖는다. 따라서 $f' ( x ) = 3 ( x + 1 ) ( x - 2 )$이다. $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 - h )}{h}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{\left\{ f ( 3 + h ) - f ( 3 ) \right\} - \left\{ f ( 3 - h ) - f ( 3 ) \right\}}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}}{h} + \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{{f ( 3 - h ) - f ( 3 )}}{- h}$ $= 2 f' ( 3 ) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1 = 24$